法向量求二面角

3.2立体几何中的向量方法A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnn给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nnnl平面的法向量：注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;nl),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(求法向量的步骤：5例1：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴4y-2z=0令y=1,则n=(34,1,2)∴n=(34,1,2)是平面ABC的一个法向量.例1、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得1OA1OD2020xyzxyz20xzy解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)AABOzyA1C1B1AxCDD1二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O复习：二面角的范围：[0,]ll法向量法1n1n2n2n12nn，12nn，12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.二面角的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补。四、教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果．例2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的大小AD1C1B1A1NMFEDCB(2)AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（1）建系如图所示，设正方体棱长为2,则M（0，1，2）F（1，2，0）E（2，1，2）N（1，2，2）则MF=（1,1，-2）NF=（0，0，-2）EF=（-1，1，-2），设平面ENF的法向量为n=(x,y,z),EFn=0NFn=0{-x+y-2z=0-2z=0则{{x=yz=0令x=y=1,则n=(1,1,0)2AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（2）建系如图，由（1）得：面ENF的法向量为n=（1，1，0），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2）设面EMF的法向量为m=（x,y,z)，则{MF.m=0EFm=0{x+y-2z=0-x+y-2z=0{x=0y=2z令z=1,则m=(0,2,1)cosm,n=10/5由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的大小为arccos(10/5)1,2SA1.2ADAzyxDCBS图5例3如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，AB=BC=1，求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，AzyxDCBS图5则110,0,,0,0,0,0,1,0,1,1,0,,0,0,22SABCD1,2SA111.2AD11(0,0,),(0,1,)22SASB)21,1,1(),21,0,21(SCSD显然平面SBA的一个法向量为1(100)n，，，2()nxyz，，，2SCDn平面设平面SCD的一个法向量为则222002,(212)2200nSDxzzn,,xyznSC取则则121212122cos,133||||nnnnnn根据题意知，侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小的大小为2arccos3练习：在正方体AC1中，E是BB1中点，求（1）二面角A-DE-B的余弦值；ABCDA1B1C1D1EXYZ112ADEBCE面与面所成二面角的余弦；13ADEADE求面与面所成二面角的大小；课后作业：1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，试用多种方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．四、教学过程的设计与实施，PD平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。①求证：PEAF；②求点D到平面PEF的距离；③求直线AC到平面PEF的距离；④求直线PA与EF的距离；⑤求直线PA与EF所成的角；⑥求PA与平面PEF所成的角；⑦求二面角A-PE-F的大小。ABCDEFPxyz练习