机械优化设计基础

第八章典型机构优化设计8.1机械优化设计的基本问题随着生产技术的不断发展，对工程机械的要求也越来越高。工程设计人员总希望能获得价廉物美的产品。优化设计方法就是借助电子计算机来达到这个目的的。优化计算是应用数学的一个重要分支，广泛地用于各个技术领域内。在机械优化设计中，其关键是选择并决定设计对象的各项参数。例如，设计一台单色轮转胶印机，必须合理地选择各种机构的运行速度，金属结构件的几何尺寸，以及其他一些必要的参数，使其具有较好的性能与较低的制造成本。在选取各项基本参数时，往往各参数与性能之间发生矛盾：有时为为了保证某个零件的必要强度和稳定性，希望它的截面积不能小于某一个极限值；但从降低制造成本的观点来看，又希望截面积的几何尺寸小些，以便节约材料，于是和强度及稳定性要求发生了矛盾。优化方法的任务就是在分析的基础上综合各方面的因素，求出一个合理的方案，以期获得最佳或较好的效果。如图8-1(a)所示的钢坯飞剪机的剪切机构。剪刃安装在连杆2上的m点处。对于飞剪机的剪切机构来说，不仅要求两个剪刃能作上下运动以便切断轧件，而且在剪切过程中还要求能随同轧件向前同步运动。因此，对该机构的设计是合理确定机构参数值12345,,,,,lllll和，使得设计的机构达到：(1)两剪刃的运动轨迹曲线m和'm满足给定的封闭曲线，从而保证两剪刃具有一定的开口度和重叠度，并在剪切完了以后能返回初始位置。(2)两剪刃在剪切过程中始终保持垂直于轧件表面，并平行地向前运动，如图8-1(b)图所示。这样不仅可以使轧件断口整齐，而且还可以保证两剪刀之间保持均匀的侧隙，以便减小剪切阻力；(3)在剪切过程中，剪刃的水平分速度与轧件运行速度尽可能相等并保持不变，以避免轧件出现堆钢和拉钢现象。图8-1飞剪机的剪切机构(a)剪切机构简图；(b)剪切过程的剪刃位置图此外，还需要满足如下一些条件才能获得可接受的方案：(1)应满足四杆机构曲柄的存在条件，即曲柄1l为最短杆，它与任一杆的和小于其余二杆的和；(2)为了保证机构具有良好的传力性能，要求其传动角不应小于允许值[]；·2·书名(3)应满足给定的重叠度要求；综上所述，该飞剪机剪切机构的优化设计可以叙述为合理选择7个设计参数，在满足若干个限制条件下，使3个准则函数同时达到最小。又如，某印刷车间具有四台印刷机，每台可以印刷3种类型的印品，各型印品每小时的利润及印刷不同印品的生产率示于表8.1；建设某月客户对1、2、3种印品的需求量分别为700、500、400千印；四台印刷机在该月可提供的工作时间分别为90、75、90、80小时，如何安排生产可使得该月的获利最大？表8.1各印刷机单位生产率及利润情况零件种类印品利润情况(元/千印)印品生产率情况(千印/小时)印刷机序号印刷机序号IIIIIIIVIIIIIIIV156438249254547663367284852显然，为了获得该月生产的最大利润，需要合理确定该月中每台印刷机各类型印品的数量。设ijx表示第j台印刷机印刷第i种印品的数量(千印)。则该月的获利总额为111213142122232431323334564354546728Wxxxxxxxxxxxx且要满足以下限制条件：(1)数量需求限制111213142122232431323334700500400xxxxxxxxxxxx(2)生产时间限制31112132122213233334142490874752689046580932xxxxxxxxxxxx(3)非负条件0(1,2,3,1,2,3,4)ijxij由此可知，该生产调度的优化设计可以叙述为合理选择12个参数，在满足19个限制条件下，使得该月的利润函数值最大。由以上两个实例可见，一个优化设计问题应包括：(1)有描述设计方案的一组设计变量；(2)有一个或几个目标函数(或准则函数)，且是设计变量的标量函数；(3)明确一组表示可接受设计方案的约束条件，且也是全部或几个设计变量的标量函数；(4)能求出一组设计变量的值，在满足全部约束条件下，使目标函数达到最小(或最大值)。优化设计是一种格式化的设计方法。对于各式各样的设计问题，都必须先将它按照规定的格式要求建立优化计算的数学模型，然后再在计算机上用优化计算方法解出它的最优值。下面先介绍优化设计的基本术语及其优化建模的基本概念。章名·3·8.1.1设计变量及目标函数设计变量在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数(或叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中则是需要优选的参数，它们的数值在优化计算过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自变量。如在飞剪机剪切机构的设计中，其构件参数1l、2l、3l、4l、5l、、是设计变量，而需用传动角[]则是设计常数。同理，在生产调度问题中，该月中每台印刷机生产各类型印品的数量(1,2,3,1,2,3,4)ijxij为设计变量。一个优化问题如果有n个设计变量，而每个设计变量用(1,2,,)ixin表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行阵的转置，即写成1212[,,,]Tnnxxxxxxx(8-1)我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量，设计变量12,,,nxxx为向量x的n个分量。以设计变量12,,,nxxx为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间，用nR表示。该空间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设计向量或者说一个设计点x。例如，2n，即只有两个设计变量，由1x和2x为坐标轴所构成的二维平面(假设只取正值)，如图8-2(a)所示，由原点O出发向()kx点作一个向量，它即代表了该设计空间中的第k个设计方案。这个方案可以由给定的()1kx和()2Kx值来确定，因此第k个设计方案可以表示成()()()()112()2[,]kkkkTkxxxxx图8-2设计空间(a)二维平面；(b)三维空间由上述可知，一个设计方案可以看成设计空间内的一个点，这一点即为设计向量的端点，可以表示为()()12(,)kkxx，其中下标表示设计变量的分量号；上标表示设计点的记号。当3n时，即由三个设计变量123,,xxx组成的一个三维空间(仍假设只取正值)，如图8-2(b)所示，其任意一个设计方案可以表示为·4·书名()1()()()()()1232()3[,,]kkkkkTkkxxxxxxx以此类推，设计变量越多，其设计空间的维数就越高，能够组成的设计方案的数量也就越多，因而设计的自由度也就越大，而相应的设计问题的复杂程度也越高。一般来说，优化设计过程的计算量是随设计变量数目的增多而增加的。因此，对于—个优化设计问题来说，应该恰当地确定设计变量的数目。并且原则上讲，应尽量减少设计变量的数目，即尽可能把那些对设计指标影响不大的参数取作给定参数，只保留那些比较活跃的对设计指标影响显著的参数作为设计变量，这样可以使优化设计的数学模型得到简化。目标函数优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题，人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中，人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制造成本以及最多的经济效益，即有关性能指标和经济指标方面最好。在优化设计中，一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达，称该函数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准，也可称为准则函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为12()(,,,)nFFxxxx(8-2)它代表着某项重要的特征，例如机器的某种性能、体积、质量、成本、误差、效率等等。目标函数是设计变量的标量函数。优化设计的过程就是通过优选设计变量使目标函数达到最优值，最优值的数学表征为最小值min()Fx或最大值max()Fx。按一般的规范做法，把优化问题归结为求目标函数值的最小值居多。在求解过程中，目标函数值越小，设计方案越优。对于某些追求目标函数最大值的问题，例如前述求月生产利润最大的问题或谋求设计的效率最高、寿命最长等等，可转化为求目标函数负值的最小值问题，即max()min[()]FFxx(8-3)因此，本章在后面的叙述中，一律把优化问题规范为求目标函数的最小值，表达式见式(8-2)。在优化设计中，仅根据一项准则建立的一个目标函数，称为单目标函数。如前面举例中的生产调度问题中，为了实现单月生产利润最大化而建立的目标函数即属于单目标优化设计问题。若在设计中需要同时兼顾多个设计准则，则需要建立多个目标函数，这种问题即为多目标优化问题。例如，前面介绍的飞剪机的剪切机构设计中，需要合理确定设计变量1l、2l、3l、4l、5l、、的值，并使其满足三个设计准则：(1)两剪刃的运动轨迹曲线m和'm满足给定的封闭曲线，从而保证两剪刃具有一定的开口度和重叠度，以保证剪断钢板。据此可以建立第一个目标函数11()kiiiFMMx式中12[,,,]nxxxx是机构的设计变量，iM与iM分别是刀刃尖端的预期轨迹和连杆刀刃尖端所能实现的实际轨迹表达式，k为计算区域内的分点数。(2)两剪刃在剪切过程中始终保持垂直于轧件表面，并平行地向前运动，如图8-1(b)图所示。这样不仅可以使轧件断口整齐，而且还可以保证两剪刀之间保持均匀的侧隙，以便减小剪切阻力获得好的剪切质量。据此，按位置误差准则可以建立第二个目标函数221()(/2)kiiFx章名·5·式中，i是机构所能实现的剪刀刀刃与水平线之间的夹角。(3)在剪切过程中，剪刃的水平分速度xv与轧件运行速度v尽可能相等并保持不变，以避免轧件出现堆钢和拉钢现象。据此，可以按水平分速度误差准则建立第三个目标函数231()()kxiiFvvx显然，这是一个比较复杂的机构设计问题，用优化设计方法可以综合考虑运动学方面的几种要求，是一个多目标函数的优化问题。目标函数通常有两种表现形式：显式和隐式。显示目标函数是根据设计理论或公式、科学定理的关系导出的代数方程，或是根据实验数据采用曲线拟合方法所得的曲线方程；隐式目标函数是利用有限元方法、人工神经网络方法或仿真模拟方法的程序设计计算的结果，它没有明确的函数式，但可以给出函数值。由于目标函数是设计变量的函数，故给定一组设计变量值就对应的有一个函数值。这样，在设计空间的每一个设计点，都有一个函数值与之相对应。具有相同函数值的点集在设计空间内形成一个曲面或曲线，我们称它为目标函数的等值面或等值线。在具有n个设计变量的目标函数中，相同的目标函数值的点集在n维设计空间是个等值超曲面。对于两个设计变量的二元目标函数则是一条等值线，平面曲线或直线。在解决优化设计问题时，正确选择目标函数是非常重要的，它不仅直接影响优化设计的结果，而且对整个优化计算的繁简难易也会有一定的影响。8.1.2设计约束和可行域从前面所举的示例表明，优化设计不仅要使所选择方案的设计指标达到最佳值，同时还必须满足一些附加的设计条件，这些附加的设计条件都是对设计变量取值的限制，在优化设计中叫做设计约束或约束条件。它的表现形式有两种，一种是不等式约束，即()01,2,,()0uugumg或xx(8-4)另一种是等式约束，即()01,2,,vhvpnx(8-5)式中()ugx和()vhx分别为设计变量的函数；m和p分别表示不等式约束和等式约束的个数，而且等式约束的个数p必须小于设计变量的个数n。因为从理论上讲，存在一个等式约束就得以