机械优化设计总复习1

1机械优化设计总复习2第一章机械优化设计的基本概念和理论机械优化设计的定义：机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。3一设计变量在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有函数关系。二设计空间在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集合是一个向量空间，并且是一个欧氏空间。一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空间的维数。三目标函数优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为目标函数。4四设计约束优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。约束条件的分类（1）根据约束的性质分边界约束直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即性能约束由结构的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。iiibxai＝1,2,···，n5u=1,2,···，m0Xgu0Xhvv=1，2，···，pn（2）根据约束条件的形式分不等式约束一个n维的优化设计问题中，等式约束的个数必须少于n。显式约束隐式约束等式约束6五可行域可行域:在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间。7min..0,1,2,,0,1,2,,nuvfXXRstgXumhXvpn六优化设计的数学模型（一）优化设计的数学模型8min..0,1,2,,0,1,2,,uvfXstgXumhXvpn（二）约束优化设计的最优解约束优化设计的最优解为使的X*、f(X*)。9§2-1目标函数的基本性质一函数的等值面（线）函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质的。二函数的最速下降方向梯度X1点的最速下降方向为局部性质TnnxXfxXfxXfxfxfxfXf21211fX第二章优化设计的数学基础10用Matlab可画出该函数的等直线。11*用图解法求解要求掌握122212111222123142min()44s.t.()20()10()0()0Fxxxgxxgxxgxgxxxxxx目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：*(2,0)x，*()0Fx约束方程所围成的可行域是D。01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=[0.58,1.34]Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0图1-913三函数的近似表达式f(X)的近似表达式为kkTkkTkkXXXHXXXXXfXfXf21H(X(k))为Hessian矩阵22221222222122122122122nknknknkkknkkkkkxXfxxXfxxXfxxXfxXfxxXfxxXfxxXfxXfXfXH14§2-2函数的凸性1.凸集*2.凸函数*如果HESSEN矩阵正定，为凸函数；•二次函数12TTfXXQXbXc15几个常用的梯度公式：1.002..3.2.4.2TTTfXCfXCfXbXfXbfXXXfXXQfXXQXfXQX常数则，即，则，则，对称矩阵。则，16§2-3优化问题的极值条件*一、无约束优化问题的极值条件12()[]0TnFFFFxxxxx1.F(x)在处取得极值，其必要条件是:*x即在极值点处函数的梯度为n维零向量。172.处取得极值充分条件2222112122222*2122222212*()nnnnnFFFxxxxxFFFxxxxxFFFFxxxxx正定或负定xx海色（Hessian）矩阵正定，即各阶主子式均大于零，则X*为极小点。()Hx*x海色（Hessian）矩阵负定，即各阶主子式负、正相间，则X*为极大点。()Hx181、约束优化设计的最优点在可行域D中最优点是一个内点，其最优解条件与无约束优化设计的最优解条件相同；*二、约束优化问题的极值条件192、约束优化设计的最优点在可行域D的边界上设X(k)点有适时约束10(1,2,,)()0()0()ljkjkjJkiiijjghFinxxxgjJjJx*库恩—塔克条件（K-T条件）：20K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。对于目标函数和约束函数都是凸函数的情况，符合K-T条件的点一定是全局最优点。这种情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。21第三章一维搜索的最优化方法*黄金分割法1、在寻找一个区间[Xa,Xb]，使函数f(X)在该区间的极小点X*∈[Xa,Xb]。2、用黄金分割法在区间[Xa,Xb]中寻找X*。[Xa，X1，X2，Xb]如何消去子区间？•f(X1)f(X2)，消去[X2，Xb]，保留[Xa，X2]•f(X1)f(X2)，消去[Xa，X1]，保留[X1，Xb]120.61803398875bbaabaXXXXXXXX22第三章一维搜索的最优化方法确定最优解所在区间的进退法一维搜索的插值类方法1、牛顿法2、抛物线法（二次插值法）23*§4-1梯度法负梯度方向是函数最速下降方向。梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即k=1,2,···,nkXfkkdfX第四章无约束最优化方法24*在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。图4-2最速下降法的搜索路径25§4-2牛顿法牛顿法的迭代公式阻尼牛顿法的迭代公式牛顿方向110,1,kkkkkXXHXfXk,1,011kXfXHXXkkkk1kkkdHXfX26§4-3变尺度法(DFP法)H(0)=I，变尺度法本质上是共轭方向法。1kkkHHH111kkkdHfX27§4-4共轭方向法一共轭方向定义：设A为n×n阶实对称正定矩阵，有一组非零的n维向量d1、d2、…、dn，若满足diTAdj则称向量系di(i=1,2,…,n)对于矩阵A共轭。28*二鲍威尔(Powell)法鲍威尔法原理，如何构成共轭方向？能具体运用！29*§4-5单纯形方法单纯形思想、原理；四种操作：反射、扩张、收缩和缩边。30第五章约束优化设计§5-1关于设计约束的若干概念可行域所有满足全部约束条件的点的集合。0,1,2,,0,1,2,uvgXumDXhXvpn31可行点可行域中的点，即满足所有约束条件的点。边界点在可行域边界上的点。若有点Xk使得则Xk为一个边界点。内点除边界点以外的所有可行点。若有点Xk满足则Xk为一个内点。miXgki,,2,1,0miXgki,,2,1,032非可行域可行域以外的区域。非可行点非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。适时约束若有点Xk使某个不等式约束gu(X)≤0的等号成立，即则称gi(X)≤0为点Xk的一个适时约束。等式约束始终是适时约束。miXgki,,2,1033*可行下降方向1可行方向定义设点，若对于方向S，存在任意小正数δ0，使得则称S为X(k)点的一个可行方向。i.X(k)为可行域中的一个内点，X(k)的任何方向均为可行方向。ii.X(k)为可行域中的一个边界点，设X(k)在约束面gi(X)=0上。DXk11,kkkXXdXD0TkigXd342可行下降方向定义设S是的一个可行方向，即若对于上式中的X(k)、X(k+1)存在则称d为X(k)点的一个可行下降方向。i.X(k)为可行域中的一个内点DXk11,kkkXXdXD01kkXfXf[()]0kTkfxd35ii.X(k)点是可行域中若干约束面的交点设X(k)点在约束面gj(X)=0，j=1,2,…,J若d是X(k)点的一个可行下降方向，则应有可行：下降：01,2,,kjgXjJ[()]0(1,2,,)kTkjjJgxd[()]0kTkfxd36*§5-2约束优化设计的复合形法对约束优化问题1确定初始复合形选择（n+1≤K≤2n）顶点，这k个顶点必须是可行点。2确定搜索方向i.计算k个顶点的函数值，设记最坏点X(1)为X(H)次坏点X(2)为X(SH)最好点X(k)为X(L)muXgtsRXXfun,,2,10..minkkXfXfXfXf12137ii.求出X(2)、X(3)、…、X(k-1)、X(k)的点集的中心(几何中心)X(S)iii.以X(H)指向X(S)的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的点X(R)。iv.若f(X(R))f(X(H))，则以X(R)代替X(H)，构成新的复合形。kjjSXkX211HSSRXXXX381内点法构造惩罚项的方法对于约束优化问题内点法的惩罚函数为muukkXgrXfrX11,min..0,1,2,,nufXXRstgXum*§5-3惩罚函数法或muukkXgrXfrX1ln,392内点法初始点的选择内点法要求初始点X(0)是一个内点。3惩罚因子r(k)的选择0210rrr40二外点惩罚函数法•外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数的形式为：2211(,)()max[0,()][()]mlijijrfrgrhxxxxr是惩罚因子,012rrr外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点x不可行时，惩罚项的值大于0。41三混合法•混合法是用内点法处理不等式约束，用外点法处理等式约束。可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。混合惩罚函数的形式为：r是惩罚因子,混合法具有内点法的特点，迭代过程在可行域之内进行，参数的选择同内点法。()()2()1111(,)()[()]()mlkkjkijirfrhgrxxxx01210kkrrrrr