桥梁工程II教案2

50桥梁工程II教案2第三节拱桥计算一、概述1、拱桥计算主要内容（1）成桥状态（恒载和活载作用）的强度、刚度、稳定性验算及必要的动力计算；（2）施工阶段结构受力计算和验算2、联合作用：荷载作用下拱上建筑参与主拱圈共同受力；（1）联合作用与拱上建筑构造形式及施工程序有关；（2）联合作用大小与拱上建筑和主拱圈相对刚度有关，通常拱式拱上建筑联合作用较大，梁式拱上建筑联合作用较小；（3）主拱圈不计联合作用的计算偏于安全，但拱上结构不安全；3、活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱截面应力不均匀的现象。在板拱情况下常常不计荷载横向分布，认为主拱圈全宽均匀承担荷载。4、计算方法：手算和程序计算。二、拱轴线的选择与确定51拱轴线的形状直接影响主拱截面内力大小与分布压力线：荷载作用下拱截面上弯矩为零（全截面受压）的截面形心连线；恒载压力线：恒载作用下截面弯矩为零的截面形心点连线；各种荷载压力线：各种荷载作用下截面弯矩为零的截面形心点连线；理想拱轴线：与各种荷载压力线重合的拱轴线；合理拱轴线：拱截面上受压应力均匀分布，能充分发挥圬工材料良好的抗压性能；选择拱轴线的原则：尽量降低荷载弯矩值；考虑拱轴线外形与施工简便等因素。（一）圆弧线圆弧线拱轴线线形简单，全拱曲率相同，施工方便：52lflflRRyRxRyyx//412)cos1(sin0211212已知f,l时，利用上述关系计算各种几何量。见《拱桥（上）》第151页表1和表2。（二）抛物线在均匀荷载作用下，拱的合理拱轴线的二次抛物线，适宜于恒载分布比较均匀的拱桥，拱轴线方程为2214xlfy在一些大跨径拱桥中，也采用高次抛物线作为拱轴线，例如KRK大桥采用了三次抛物线。（三）悬链线实腹式拱桥和空腹式拱桥恒载集度（单位长度上的恒载）的区别与变化。实腹式拱的恒载压力线的悬链线（后面证明），空腹式拱桥恒载的变化不是连续的函数，如果要与压力线重合，则拱轴线非常复杂。五点重合法：使拱轴线和压力线在拱脚、拱顶和1/4点重合来选择悬链线拱轴线的方法，这样计算方便。目前大中跨径的拱桥都普遍采用悬链线拱轴线形，计算表明，采用悬链线拱轴线对空腹式53拱桥主拱受力是有利的。1、拱轴方程的建立（1）坐标系的建立：拱顶为坐标原点，y1向下为正；（2）对主拱的受力分析：恒载集度：dg，xg，jg1yggdx，ddjmgfggfgmd)1(，])1(1[1fymggdx54拱顶轴力：gH，因拱顶0,0ddQM对拱脚截面取矩：fMHjg（1-2-12）对任意截面取矩：gxHMy1（1-2-13）（3）恒载压力线基本微分方程建立对（1-2-13）式两边求导得：gxgHgdxMdHdxyd222121（1-2-14）为简化结果引入参数1lx1221212ykHgldydgd，)1(212mfHglkgd（1-2-21）（4）基本微分方程的求解：二阶非齐次常系数微分方程的通解为：kkeCeCy211微分方程的特解为：gdHgly211边界条件：0时，0,011ddyy悬链线方程为：)1(11chkmfy（1-2-22）当拱的跨径和矢高确定后，拱轴线坐标取决于m，各种不同m所对应的拱轴坐标可由《拱桥（上）》第575页附录III表(III)-1查出；55（5）三个特殊关系：当fy1,1时，mchk；)1ln(2mmk当djggm,1时，21fy当2/1，4/11yy，由（1-2-22）式得：2)1(2111211)12(4/1mmmmkchfy（1-2-24）2、拱轴系数的确定悬链线拱轴方程的主要参数是拱轴系数（1）实腹式拱拱轴系数的确定dhgdd21hdhgjdj321cos；jddfhcos2256dhddfdhggmdjjddj21321)cos22(cos321,,分别为拱顶填料、主拱圈和拱腹填料的容重；jdhdh,,,分别为拱顶填料厚度、主拱圈厚度、拱脚拱腹填料厚度及拱脚处拱轴线水平倾角。确定拱轴系数的步骤：假定m从《拱桥（上）》第1000页附录III表(III)-20查jcos由（1-2-25）式计算新的m若计算的m和假定m相差较远，则再次计算m值，直到前后两次计算接近为止。以上过程可以编制小程序计算。（2）空腹式拱拱轴系数的确定拱轴线变化：空腹式拱中桥跨结构恒载分为两部分：分布恒载和集中恒载。恒载压力线不是悬链线，也不是一条光滑曲线。五点重合法：使悬链线拱轴线接近其恒载压力线，即要求拱轴线在全拱有5点（拱顶、拱脚和1/4点）与其三铰拱恒载压力线重合。如图1-2-135b。57五点弯矩为零的条件：#1、拱顶弯矩为零条件：0,0ddQM，只有轴力gH#2、拱脚弯矩为零：fMHjg58#3、1/4点弯矩为零：4/14/1yMHg#4、4/14/1yMfMj（1-2-27）主拱圈恒载的jMM,4/1可由《拱桥（上）》第988页附录III表(III)-19查得拱轴系数的确定步骤：#1、假定拱轴系数m#2、布置拱上建筑，求出jMM,4/1#3、利用（1-2-24）和（1-2-27）联立解出m为1)2(2124/1yfm（1-2-28）#4、若计算m与假定m不符，则以计算m作为假定值m重新计算，直到两者接近为止。三铰拱拱轴线与恒载压力线的偏离值以上确定m方法只保证全拱有5点与恒载压力线吻合，其余各点均存在偏离，这种偏离会在拱中产生附加内力，对于三铰拱各截面偏离弯矩值pM可用拱轴线与压力线在该截面的偏离值y表示，即yHMgp空腹式无铰拱的拱轴线与压力线的偏离对于无铰拱，偏离弯矩的大小不能用yHMgp表示，而应59以该偏离弯矩作为荷载计算无铰拱的偏离弯矩；由结构力学知，荷载作用在基本结构上引起弹性中心的赘余力为：ssgssppIdsdsIyHEIdsMEIdsMMX2111111（1-2-29）ssgssppIdsydsIyyHEIdsMEIdsMMX22222222（1-2-30）其中yHMgp，11M，yM2上述（1-2-29）其值较小，（1-2-30）其值恒为正（压力）,任意截面之偏离弯矩为：pMyXXM21（1-2-31）拱顶和拱脚弯矩为：021sdyXXM0)(21sjyfXXM（1-2-32）sy是弹性中心至拱顶的距离。sy空腹式无铰拱采用五点重合法确定拱轴线，是与相应的三铰拱压力线在五点重合，而与无铰拱压力线实际上并不存在五点重合关系（1-2-32）。但偏离弯矩恰好与控制截面弯矩符号相反，因而，偏离弯矩对拱脚及拱顶是有利的。60（3）拱轴系数取值与拱上恒载分布的关系矢跨比大，拱轴系数相应取大；空腹拱的拱轴系数比实腹拱的小；对于无支架施工的拱桥，裸拱1m,为了改善裸拱受力状态，设计时宜选较小的拱轴系数；矢跨比不变，高填土拱桥选小m，低填土拱桥选较大m；3、拱轴线的水平倾角对拱轴线方程求导得：shkmfkddy11shkmlfkdldydxdytg)1(2111，)1ln(2mmk拱轴线各点水平倾角只与f/l和m有关，该值可从《拱桥（上）》第577页表（III）-2查得。4、悬链线无铰拱的弹性中心61在计算无铰拱内力时，为了简化计算常利用弹性中心的特点；无铰拱基本结构取法有两种：悬臂曲梁和简支曲梁。ffdkshdkshchkmfdsdsyEIdsEIdsyysssss3111)1(1110221022111可从《拱桥（上）》第579页表（III）-3查得。（四）拟合拱轴线1、必要性和可行性前面确定拱轴线的特点是采用五点重合法，即利用拱轴线的五点来逼近压力线，但随着桥梁跨度的增大，五点显得越来越少，导致一些截面偏离弯矩较大，有必要采取多点重合法来逼近压力线。随着现代结构分析理论发展和计算技术在桥梁设计中的广泛应用，在拱桥设计中采用通过优化拟合而成的某一曲线作为拱轴线称为可能，目前常用的拟合方法有：最小二乘法，样条函数逼近法等。2、确定函数逼近准则62压力线与拱轴线任意对应点的残差均达到最小),,3,2,1(min)(maxniyxfii（1-2-39）3、确定约束条件满足（1-2-39）的条件的曲线不一定是我们希望的拱轴线，因此，必须要有约束条件使之成为较好的拱轴线。这些条件包括坐标原点通过拱顶、拱脚竖坐标为矢高，凸曲线的条件等。4、建立拟合数学模型将逼近准则与约束条件相结合：),,3,2,1()(maxminniyxfii),0(0)(''nxxxf0(0)'0)0(ff拱轴线的拟合可以逐次逼近实现。三、拱桥内力计算63（一）手算法计算拱桥内力手算和电算的区别1、等截面悬链线拱恒载内力计算（1）恒载内力、弹性压缩引起的内力、拱轴线偏离引起的内力（主要针对手算法）（2）不考虑弹性压缩的恒载内力—无矩法①实腹拱认为实腹式拱轴线与压力线完全重合，拱圈中只有轴力而无弯矩，按纯压拱计算：恒载水平推力：flgflgkflgkmHddgdg2222)18.0~128.0(41（1-2-42）拱脚竖向反力为半拱恒载重力：lglgklgmmmdxgVddgdlxg)981.0~527.0(')1ln(212201（1-2-43）拱圈各截面轴力：cos/gHN式中：ggkk',可从《拱桥（上）》第580页表（III）-4查得。②空腹拱：空腹式悬链线无铰拱的拱轴线与压力线均有偏离，计算时分为两部分相叠加：无偏离恒载内力+偏离影响的内力=不考虑弹性压缩的恒载内力。无偏离时：64fMHjgigPV（半拱恒载重力）cos/gHN偏离弯矩：对中小跨径空腹拱桥不考虑该值偏于安全；对于大跨径空腹拱桥对拱顶、拱脚有利，对1/8、3/8截面有不利，尤其3/8截面往往成为正弯矩控制截面。偏离弯矩为：sin)(cos21212XQyHyyXXMXNgs（1-2-45）偏离附加内力大小与拱上恒载布置有关，一般腹拱跨大影响大。（3）弹性压缩引起的恒载内力在恒载轴力作用下，拱圈弹性压缩表现为拱轴长度缩短，这必然会引起相应的附加内力。65拱顶变形协调条件：0'22lHg（1-2-46）lglEAdxHEANdsdxl00coscossssssEIdsyEAdsEIdsyEAdsNEIdsM222222222)1(cos'11ggHH（1-2-51）式中：sssEIdsyEvAlEIdsyEAds222cosssEIdsyAEvlEIdsyEAdx21201cos上述公式中：sEIlfEIdsy22)119.0~086.0(，可从《拱桥（上）》第581页表（III）-5查得；)975.0~824.0(1),03.1~247.1(11vv，可从《拱桥（上）》第607页表（III）-8和第609页表（III）-10查得；21)92.11~54.10(fr和2)31.11~967.6(fr，可从《拱桥（上）》第608页表（III）-9和第610页表（III）-11查得；66由于gH的作用在拱内产生的内力为：sin1)(1cos11111gsggHQyyHMHN（1-2-55）可见考虑弹性压缩，在拱顶产生正弯矩，压力线上移；拱脚产生负弯矩，压力线下移。即实际压力线不与拱轴线重合。85桥规规定，对于跨径较小，矢跨比较大的拱桥可不计弹性压缩影响：3/1/,30lfml；