二次流初识

二次流初识苏志鑫物理工程学院14级物理本硕Email:[e-mail]摘要;沿一边界的流动因受到横向压力的作用，产生了平行于边界的偏移，则靠近边界的流体层由于速度较小，就比离边界较远的流体层偏移得厉害，这就导致了叠加于主流之上的二次流。关键词:二次流、欧拉平衡方程、离心力、压强、边界生活中的二次流现象在天然河道中，在弯道处，由于二次流而使河底处水流所携带的沙子、砾石等从弯段的外侧移走，而在弯段的内侧堆积起来，结果造成河道的外侧被掏深而内侧则变浅。这种情形与外侧更大流速水流的冲刷相结合，就使弯段的弯曲程度越来越显著。所以，只要可能，河道总是弯弯曲曲的。还比如水盆里的水，旋转起来后底部的沙子由于二次流的缘故总是会向中心汇集典型二次流分析一个典型例子是EdwardS.Taylor的茶杯模型当我们不停地搅拌杯中茶水使其大体上形成环形流向，茶叶会集结在杯的底部。茶叶的密度比液体密度大，从离心力角度看，茶叶有从液体中分离的趋势。然而，一般人会认为茶叶应分散在周围而不是集结在杯底的中央，因此必定存在某种其他的因素使它们汇集在杯底中央。对于给定的流体作旋转运动时，其径向欧拉方程式如图。对于一定的压力梯度𝜕𝜌/𝜕r，速度v越小，则流体和粒子运动的半径r越小。在该茶杯实验中，假定主流无垂直压力梯度，那么，为了保证流体各质点作圆周旋转运动，必须使流体径向压力梯度在任何深度是一样的。假设茶杯底部边界只占整个流体深度的一小部分，则边界层以外的主流保持一定的压力梯度。由于边界层流体速度较小，它的离心加速度不足以平衡其压力梯度，所以该流体带着茶叶被迫向茶杯中心运动。换句话说，假定的主方向水流并不能满足在径向方向任何一处的动量方程，这样就必须对水流校正以便给实际存在水流一个合理的近似解，这一校正称之为二次流下面由欧拉微分方程推导出液体的压力关系{ƒ𝑥−1𝜌𝜕𝑃𝜕𝑥=𝑑𝜐𝑥𝑑𝑡ƒ𝑦−1𝜌𝜕𝑃𝜕𝑦=𝑑𝜐𝑦𝑑𝑡ƒ𝑧−1𝜌𝜕𝑃𝜕𝑧=𝑑𝜐𝑧𝑑𝑡在柱坐标下只受到重力作用，假设无垂直速度变化，由𝑑𝜐𝑑𝑡=𝜔2𝑟则可转化为{1𝜌𝜕𝑃𝜕𝑥=𝜔2𝑟cos𝛼1𝜌𝜕𝑃𝜕𝑦=𝜔2𝑟sin𝛼𝑔−1𝜌𝜕𝑃𝜕𝑧=0可得𝑑𝑃=𝜌(𝜔2𝑥𝑑𝑥+𝜔2𝑦𝑑𝑦−𝑔𝑑𝑧)积分得𝑃=𝜌(12𝜔2𝑦2+12𝜔2𝑥2−𝑔𝑧)+𝐶𝑃=𝜌(12𝜔2𝑟2−𝑔𝑧)+𝐶根据边界条件𝑟=0，𝑧=0，𝑃=𝑃0可求得积分常数𝐶=𝑃0,可得𝑃=𝜌𝑔(𝜔2𝑟22𝑔−𝑧)+𝑃0由式子可见，在同一高度上，液体的静压强沿径向按半径的二次方增大。下面研究旋转情况下的等压方程。由上式可得𝜔2𝑥𝑑𝑥+𝜔2𝑦𝑑𝑦−𝑔𝑑𝑧=0积分后可转化为12𝜔2𝑟2−𝑔𝑧=C显然，在𝑧0=0，𝑟=0时，常数C=0，有12𝜔2𝑟2=𝑔𝑧0𝑃=𝜌𝑔(𝑧0−𝑧)+𝑃0=𝜌𝑔ℎ+𝑃0即，在理想情况下，在重力作用下绕垂直轴旋转的压强分布规律与绝对静止的液体压强分布规律一样。事实是，由于边界条件和液体的粘滞系数，旋转的流体会产生如图所示的情况。产生的有效切应力分为径向方向提供向心力和切向方向阻碍流体旋转。而靠近底部的液体相较中心处液体角速度更小，必然会产生如图所示的情况，即产生了二次流。Taylor是研究二次流的杰出代表之一。其实验装置是采用同轴双圆柱体，内圆柱体旋转，而外圆柱体静止不动，当旋转速度够高，流体因离心力的作用产生二次流，该二次流的特征表现为对称的旋转方向相反的漩涡，即称为Taylor涡如图由该模型可得假设内圆柱体半径无限小，在高速旋转下，可以形成多层十分复杂的二次流，滞留在水中的气泡浮力无法克服二次流流体的阻力迅速上浮，便解释了水杯中的气泡为何有时会在水下跟随液体旋转而不是迅速上浮。二次流的主要研究方法1.液体可视化法主要是通过着色、激光诱导荧光或注入各向异性微粒使流体具有一定可见性，加以一定的计算获得物质迁移规律和流体运动的轨迹和细节2.摄像法采用先进的摄像设备（像高速摄像机、核磁共振流体成像仪）将流体的轨迹拍摄下来，获得流体运动的边界条件及相关参数，为运动规律和数学模型提供基础数据3.数学分析法在相关实验基础上，根据能量守恒定律，运用数学分析方法建立起流体运动的速度场分布，应力场分布，物质的迁移规律与能量转换规律，从而建立流体流动的数学模型预测二次流的强度和特征以及二次流对物质迁移、能量交换的作用和影响参考文献【1】陈卓如《工程流体力学》高等教育出版社1992年【2】湛含辉《二次流原理》中南大学出版社2006年