2一维随机变量及其分布

M.T.第二章一维随机变量及其分布一、随机变量二、随机变量的分布函数三、离散型的概率分布律四、连续型随机变量及其概率密度五、随机变量的函数的分布M.T.上一章用集合来表示事件和事件的运算，实现了第一步抽象化、符号化的工作。但在这里，集合中的元素对应的还是随机试验中具体出现的结果。本章首先要作的就是把这些结果和实数对应，相应的变量即为随机变量，则事件对应着相应的数集，进一步的，我们可以把已有的数学工具应用到概率分布问题的研究，从而实现研究方法的函数化，这有利于更好、更深入地揭示随机现象的规律性。看下面简单的例子例:抛掷一枚硬币的两个结果：｛正面，反面｝，也可以用数字表示：｛1，0｝,这时对应的关系可以反映为一个变量1,()0,X正面反面M.T.一、随机变量的概念1随机变量及其分布定义设E是一随机试验，是它的样本空间，若对中的每一个,都有唯一的实数与之对应，则称为(随机试验E的)随机变量。()X()X随机变量一般用X,Y,Z,或小写希腊字母,,表示。()X实数即（映射）问：定义域和值域分别是什么？M.T.离散型连续型取值为有限个和至多可列个的随机变量.可以取区间内一切值的随机变量.例1(1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点,X(ω):123456(2)某人买彩票直至买中为止，ω表示买入次数，则ω：买1次买2次......买n次......X(ω)：12......n......(3)记录下午两点到晚上12点电话呼入时间,则ω:呼入时间X(ω):[0,10]ω：M.T.引入随机变量后，用随机变量的等式或不等式表达随机事件。(3)X(ω)表示记录下午两点到晚上12点电话呼入时间对应的随机变量，讨论{()}()XaXa（如　或等）例1(1)X(ω)表示随机地掷一颗骰子掷出的点数则表示事件，进一步地讨论它们的概率。{1}X{1}X＝{3}X{0}X{7}X＝(2)X(ω)某人买彩票直至买中为止的次数，讨论{1}X{1}X＝{3}X{0}X()[0,10]X{10},{5}XX{15}X{15}X{28}XM.T.定义了一个x的实值函数，称为随机变量X的分布函数，记为F(x),即定义设X为随机变量,对每个实数x,随机事件)(xX的概率)(xXPxxXPxF),()(注:1.分布函数对应的集合可以表示随机变量其它等式或不等式表示的集合；2.分布函数给出了研究统计规律性统一的基本概念。它完整地描述了随机变量的统计规律性（见下页）.二、随机变量的分布函数M.T.)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP（]ab]]（]若把X看作数轴上的坐标，则表示X落在区间上的概率，则利用分布函数可以计算()Fx(,]x)(1)(1)(aFaXPaXP而M.T.2.1)(0xF且0)(lim,1)(limxFxFxx分布函数的性质1.单调不减，即)()(,2121xFxFxx()Fx3.右连续，即(0)lim()()txFxFtFx＋()Fx注：后两条性质做直观理解即可！M.T.:X解　的分布函数为011124()11234213xxFxxx即011124()323413xxFxxx求的分布函数，并求例1:设随机变量的有分布为X),21(XP)32(),2523(XPXPkp-123414121XM.T.3553311()()()2222442PXFF＝111()()224PXF则　(23)(3)(2)(2)PXFFPX=3131424-101231-101231xy图像：M.T.解：由分布函数的性质，我们有得1202BABA．，121BA解得试求常数A,B.例2设随机变量X的分布函数为FxABarctgxx0limlim2xxFxABarctgxAB1limlim2xxFxABarctgxABM.T.描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或称分布律，即,2,1,)(kpxXPkk概率分布的性质,2,1,0kpk非负性11kkp规范性2离散型随机变量定义若随机变量X的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X为离散型随机变量.一、离散型随机变量的分布律12,,xxM.T.(1)0–1分布二、常见的离散型随机变量的分布应用场合凡是试验的目的只考虑两个可能的结果，常用0–1分布描述，如考试是否及格、产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.－－简单且普便或写成1,0,)1()(1kppkXPkkX=k10Pp1–p0p1分布律：M.T.(2)二项分布),(pnB回顾：n重Bernoulli试验中，每次试验感兴趣的事件A在n次试验中发生的k次的概率？称X服从参数为n,p的二项分布，记作),(~pnBX0–1分布是n=1的二项分布若P(A)=p,则()(1),0,1,,kknkknpPXkCppkn给出随机变量X，X为事件A在n次试验中发生的次数。M.T.例2一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件．试求下列事件的概率：B={取出的15件产品中恰有2件次品}C={取出的15件产品中至少有2件次品},0.1.APA取出一件产品为次品则解：由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是15重Bernoulli试验．2213150015114151520.10.9110110.10.90.10.9PBPXCPCPCPXPXCC所以，X表示“抽取的产品中次品的个数”，则~(15,01)XBM.T.例3:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有4重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验。:,4,1此人及格的概率是时于是当其中nnp324555513131(3)0.1034544444P~(5,1/)Bn表示：他答对题数，()(1),01,2,3,4,5knknPkppkk另问：全部答错的概率？0.237M.T.(3)Poisson分布)(或)(P回顾：的幂级数展开式？xe或若变量X满足,2,1,0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称X服从参数为的Poisson分布，记作)()(P例4设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知12PXPX4PX．试求M.T.解：随机变量X的分布律为，，，210!kekkXPk得12PXPX由已知2那么42244!PXeM.T.3连续型随机变量及其概率密度引例考虑某车床加工的零件长度与规定的长度的偏差，通常知道偏差的范围，设其偏差的绝对值最大是a,那么V［-a,a］．M.T.定义设X是一随机变量，若存在一个非负可积函数f(x),使得xttfxFxd)()(其中F(x)是它的分布函数.则称X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简称为密度函数或概率密度.一、连续型随机变量的概念M.T.-10-550.020.040.060.08xf(x)xF(x)分布函数F(x)与密度函数f(x)的几何意义:建立坐标系,给出f(x)的图像。)(xfyM.T.f(x)的性质：1、0)(xf2、1)(d)(Fxxf我们常利用此性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。3、在f(x)的连续点处，)()(xFxff(x)描述了X在x点分布函数值的变化率。4、对任意的ab,有()()()()dbaPaXbFbFafxxM.T.注意:对于连续型随机变量X,密度函数的积分才对应着概率值，故有P(X=a)=0，这里a可以是随机变量X的一个可能的取值。命题连续型随机变量取任一常数的概率为零，则要注意不可能事件的概念与不同。0)(aXPPXafa千万不能认为：M.T.那么，对于连续型随机变量X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(d)(aFbFxxfbabxf(x)-10-550.020.040.060.08aM.T.()()()PXbPXbFb()()1()1()PXaPXaPXaFaxf(x)-10-550.020.040.060.08aM.T.例1设随机变量具有概率密度函数试确定常数A，以及的分布函数.X.0,0;0,)(3xxAexfxX解由,31)(103AdxAedxxfx知A=3，即.0,0;0,3)(3xxexfx而的分布函数为XxxxxedttfxF.0,0;0,1)()(3M.T.(1)均匀分布则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记作),(~baUX若X的密度函数为其他,0,1)(bxaabxfX的分布函数为1,,0)(abaxxFbxbxaax,,二、常见的连续性随机变量的分布M.T.均匀分布的密度函数和分布函数图像：01xaxaFxaxbbabxabxF(x)01密度函数：分布函数：其他,0,1)(bxaabxfxab0f(x)M.T.(2)指数分布若X的密度函数为其他,00,)(xexfx则称X服从参数为的指数分布。)(~EX记作X的分布函数为0,10,0)(xexxFx0为常数M.T.一般地，若X的密度函数为xexfx222)(21)(则称X服从参数为,2的正态分布,为常数，02~(,)XN记作(3)正态分布221,,2xxex首先看标准正态分布M.T.21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3N（-3,0.3）M.T.f(x)的性质：图形关于直线x=对称：f(+x)=f(-x)在x=时,f(x)取得最大值21在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点曲线y=f(x)以x轴为渐近线曲线y=f(x)的图形呈单峰状M.T.yfxXyfxX并且可知，当越小时，图形越陡，因而落在附近的概率越大；反之，当越大时，的图形越平坦，这表明的取值越分散．xf(x)01若12，则212121，前者取附近值的概率更大.x=1所对应的拐点M.T.应用场合若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,则X服从正态分布.海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；M.T.密度函数的验证是其密度函数，则有：，，设xfNX2~xexfx021222121222dxedxxfx