数学必修5第一章测试题

2017高中数学第一章解三角形章末演练轻松闯关新人教A版必修5[A基础达标]1．在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为()A．ABB．ABC．A≥BD．A，B的大小关系不能确定解析：选A.由正弦定理，可得a＝2RsinA，b＝2RsinB，其中R为△ABC外接圆的半径，因为sinAsinB，三角形确定后，R为常数，所以ab.又因为A，B为△ABC的内角，所以AB.2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A.63B.223C．－63D．－223解析：选A.已知a＝15，b＝10，A＝60°，在△ABC中，由正弦定理可得sinB＝bsinAa＝10×3215＝33，又由ab可得AB，即B为锐角，则cosB＝1－sin2B＝63.3．在△ABC中，已知a＝17，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定解析：选B.由正弦定理得sinB＝bsinAa＝122171，即sinB1，因为A＝45°，所以B有两解，即三角形有两解．4．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝1，b＝2，cosC＝14，则△ABC的周长为()A．5B．3C．8D．4解析：选A.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×14＝4，所以c＝2，从而△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.5．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于()A.3∶1∶1B．2∶1∶1C.2∶1∶2D．3∶1∶1解析：选A.由A∶B∶C＝4∶1∶1知A＝120°，B＝30°，C＝30°，所以a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝32∶12∶12＝3∶1∶1.6．(2015·高考广东卷改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝32且bc，则b＝________．解析：由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又bc，所以b＝2.答案：27．(2016·昆明一中检测)在△ABC中，BC＝3，AB＝2，且sinCsinB＝25(6＋1)，则角A＝________．解析：设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由题意得a＝3，c＝2，且sinCsinB＝25(6＋1)＝cb，所以b＝225（6＋1）＝6－1，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，所以A＝120°.答案：120°8．(2016·宁德质检)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若2asinB＝3b，b＋c＝5，bc＝6，则a＝________．解析：因为2asinB＝3b，所以2sinAsinB＝3sinB.所以sinA＝32，因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＝12，因为bc＝6，b＋c＝5，所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋32－2×6×12＝7，所以a＝7.答案：79．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积．解：由正弦定理，得7sin120°＝5sinC，所以sinC＝5314，且C为锐角(∠A＝120°)．所以cosC＝1114.所以sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝32cosC－12sinC＝32×1114－12×5314＝3314.所以S△ABC＝12AB·BC·sinB＝12×5×7×3314＝1534.10．(2015·高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为m∥n，所以asinB－3bcosA＝0，$来&源：ziyuanku.com由正弦定理，得sinAsinB－3sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝3.由于0＜A＜π，所以A＝π3.ziyuanku.com(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.资*源%库ziyuanku.com因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bcsinA＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sinB，从而sinB＝217.又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝277.故sinC＝sin(A＋B)＝sinB＋π3＝sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝32114.所以△ABC的面积为12absinC＝332.[B能力提升]．若△ABC的三边分别是a，b，c，它的面积为a2＋b2－c243，则角C等于()．30°B．45°C．60°D．105°解析：选A.因为S△ABC＝12absinC＝a2＋b2－c243，所以a2＋b2－c2＝23absinC，所以a2＋b2－c22ab＝3sinC，即cosC＝3sinC，所以tanC＝33.因为C∈(0°，180°)，所以C＝30°.2．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为________．解析：如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120°，由余弦定理，得cos120°＝102＋（9t）2－（21t）22×10×9t，解得t＝23(负值舍去)，23小时＝40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟．答案：40分钟3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求a＋bsinA＋sinB的值；Ziyuanku.com(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积S△ABC.解：(1)由正弦定理可设asinA＝bsinB＝csinC＝2sin60°＝232＝433，所以a＝433sinA，b＝433sinB，所以a＋bsinA＋sinB＝433（sinA＋sinB）sinA＋sinB＝433.(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)，所以S△ABC＝12absinC＝12×4×32＝3.4．(选做题)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB.(1)求角C的大小；(2)若c＝3，求△ABC周长的取值范围．解：(1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinA·sinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12.又因为0Cπ，所以C＝2π3.(2)由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2，所以a＝2sinA，b＝2sinB，则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋3＝2sinA＋sinπ3－A＋3＝2sinA＋π3＋3.因为0Aπ3，所以π3A＋π32π3，所以32sinA＋π3≤1，所以232sinA＋π3＋3≤2＋3，所以△ABC周长的取值范围是(23，2＋3]．资*源%库