第五讲 线性空间与线性变换

第五讲线性空间与线性变换n线性空间是维向量空间的推广。线性空间是在不考虑集合的对象，抽去它们的具体内容来研究规定了加法和数乘的集合的公共性质，因此，线性空间具有高度的抽象性和应用的广泛性学习时要深入理解各个基本概念及其相互之间的联系，养成从定义出发进行严格推理的习惯。（一）线性空间知识脉络图解集合与映射线性子空间基本性质基与维数元素的坐标线性空间的定义生成子空间基变换与坐标变换子空间的交与和子空间的直和线性空间分解为子空间的直和同构映射线性空间的同构向量空间nP重点、难点解读线性空间是我们第一次用公理化的方法来定义的数学结构，即将一个具有加法与数乘运算且这些运算封闭，并满足八条算律的集合定义为线性空间。应该说这是在数学思想方法上是一次新的飞跃。有了这一概念，我们就可以用统一的方法来处理许多数学对象。本章的重点之一是线性空间的基与维数。因为在确定了有限维线性空间的基之后，一方面明晰了线性空间的结构（由基生成整个线性空间），另一方面将线性空间中抽象的元素及规定的运算与中具体的向量及向量的运算相对应，因此可归结为对中向量的讨论，即它们具有相同的代数结构。nPnP本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和。能够将一个线性空间分解为若干个子空间的直和，则这个线性空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研究。应掌握直和的概念和等价条件。一、线性空间的判定1、线性空间的定义对于线性空间的定义，我们应注意以下几点：①线性空间具有一般性，其中的元素不一定是通常意义下的向量，可以是数、矩阵、多项式、函数等。②线性空间具有抽象性，这主要体现在两个运算上，其中加法与数乘未必就是我们所熟悉的数、矩阵、多项式、函数的加法与数乘运算，之所以这样称呼，是因为所定义的这两种运算满足通常的加法与数乘运算所具有的运算规律。在同一非空集合及同一数域上按不同规则来定义这两种运算，所构成的线性空间是不同的。③线性空间定义中，当取不同的数域时，线性空间的定义形式不改变，但线性空间中的一些性质，如线性相关性、维数等，一般要改变。要验证一个非空集合是线性空间，除了需要验证其元素对所规定的加法与数乘运算封闭外，还需逐一验证这两种运算应满足的八条算律；而要否定一个非空集合是线性空间，只要说明两个封闭性及八条算律中有一条不成立即可。2、线性空间的简单性质（1）零元素是唯一的；（2）任意元素的负元素是唯一的；（3）0,,1;k（4）如果，则或k0k.（1）V是实数域上的线性空间；并指出什么函数是零元素；的负元素是什么函数；fV（2）证明：V不是有限维线性空间。证首先可证V关于加法与数乘封闭。12,,,ffVkR显然，和仍为定义在闭区间上的实函数，12ff1kf0,1所以，121,.ffkfV再验证加法应满足的4条算律：123,,,,,fffVklR有1221123123,ffffffffff例1、设V是定义在闭区间上所有实函数的集合，在V上定义的加法为：对为函数0,11212,,ffVff1212ffxfxfx定义实数乘函数为kfVkfxkfx这4条中，只证，对，有110ff0,1x1111ffxfxfx1100fxfxx最后验证数乘满足的4条算律：1212111,kffkfkfklfkflf1111,1klfklfff也只证第一式。对，有0,1x121212kffxkffxkfxfx规定零函数为00,0,1xx则110ff规定的负元素为1f11,0,1fxfxx则110ff综上即证V是R上的线性空间，零元素是零函数，即00,0,1xx的负元素为f11,0,1fxfxx（2）下证，即证存在任意多个线性无关的函数。令dimV20121,,,,,0,1nnfxfxxfxxfxxxdim.V即V不是有限维线性空间。则可证线性无关，由于任意大，所以01,,,nfffn而1212kfkfxkfxkfx1212kfxkfxkfxfx故1212.kffkfkf例2、设是数域P上的线性空间，对12,VV121212,,,,VV,kP规定12121122,,,1212,,kkk（1）证明：关于以上运算构成P上的线性空间；12VV（2）设，求12dim,dimVmVn12dim.VV证（1）由加法的定义知对加法封闭，并容易验证加法满足交换律与结合律。且12VV设分别是中的零元，则是的零元。12,VV12,12,12VV对存在1212,,VV1212,,VV使得121212,,,.其次由数乘的定义知对数乘封闭，且12VV121212121,,,,,,klkl121212,,,,klkl12121212,,,,kkk都成立。所以是P上的线性空间。12VV（2）设是的一组基，是的一组基。令12,,,m1V12,,,n2V1122222,,,,,,mm1112121,,,,,,nn先证个向量，线性无关。令mn11,,,,mn1111mmnnllkk即111112,,mmnnllkk于是110,mnllkk故线11,,,,mn性无关。又对，有，其中12VV,12,,VV有1111,mmnnsstt从而21,,1111mmnnsstt即可由线性表示，它们为的一组基，11,,,,mn12VV从而12dim.VVmn二、线性子空间的判定1、线性子空间的概念设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集合，如果W对于V的两种运算也构成P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间。由V的一组元素的所有可能的线性组合构成的集合12,,,s112212,,,ssskkkkkkP构成V的一个子空间，称之为由生成的子空间，记为12,,,s12,,,.sL验证线性空间V的非空子集W是否构成子空间，只要验证W对于V的两种线性运算的封闭性。2、线性子空间的有关结果（1）如果数域P上的线性空间V的非空子集W对于V的两种线性运算封闭，即对于任意有又对于任意有，则W是V的子空间。,W,W,kPWkW（2）设（Ⅰ）：和（Ⅱ）：是线性空间V中的两组元素，如果元素组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则12,,,s12,,,t1212,,,,,,stLL而的充分必要条件是元素组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。1212,,,,,,stLL（3）设和是线性空间V的两个子空间，则它们的交也是V的子空间。1W2W12WW注两个子空间的并一般未必是子空间。例1、设是数域P上全体维向量组成的线性空间，证明：的任意子空间W，必至少是一个元齐次线性方程组的解空间。nPnPnn证设，取W的一组基，则dimWs12,,,s12,,,,sWL其中为维列向量。令in1,TTsA则，作齐次线性方程组rAsAxO可得它的基础解系（其中为维列向量），12,,,nsin则有即,Tijo1,2,,;1,2,,Tjioisjns令1,TTnsB作齐次线性方程组BxO由于，所以的解空间是维的。由rBnsBxOs1,2,,;1,2,,Tjioisjns知为12,,,sn元齐次线性方程组的解空间的一组基。BxO故W是的解空间。BxO例2、设是维线性空间V的真子空间。证明V中必有向量不在所有个空间中。12,,,mVVVnm证对用数学归纳法。时，结论显然正确。m1m若，得证。mV否则，，必存在。mVmV我们证明存在正整数,k使对所有的成立。ikV1,2,,im设结论对成立，证明结论对亦成立。由归纳假设，存在,11.iVimm1m首先注意。否则，我们有，矛盾。mkVmV我们证明上述断言成立，只需证明存在正整数，使kikV对成立即可。1,2,,1im否则对任意的正整数，都存在k1,2,,1,im使。ikV取是个不同的正整数，则m12,,,mkkk,1,2,,,rjjrkVjmj是1,2,,1m中的某个数。于是必存在，使，ijrrji故,rijjkkV即,rijjkkV其中.ijkk于是,rjV1,2,,1rjm这与矛盾。rjV三、线性（子）空间的基与维数设V是数域P上的线性空间。如果V中有个元素n12,,,n线性无关，且，可由V12,,,n唯一线性表示，即1122nnaaa则称为V的一组基，称为线性空间V的维数，称在基下的坐标。记为12,,,nn12,,,n12,,,naaa12,,,.naaa设是线性空间V中的一组元素，则12,,,s1212dim,,,,,,nnLr且元素组的任一极大线性无关组都是生成子空间的基。12,,,s12,,,sL设W是数域P上维线性空间V的一个维子空间，nm12,,,m是W的一组基，则这组元素必可扩充成V的一组基。即在V中必可找到个元素nm12,,,mmn使得是V的一组基。121,,,,,mmn例1、已知向量空间123412342341234,,,0,0,,,,VxxxxxxxxxxxxxxxR（1）求V的基和维数；（2）求V的一组标准正交基。解由V的构成可知，V是4元齐次线性方程组123423400xxxxxxx的解空间，它的基就是该方程组的基础解系。因为1111100001110111A故它的基础解系为120,1,1,0,0,1,0,1所以，V是2维向量空间，是V的一组基。12,由Schmidt正交化方法，可求得V的标准正交基12111120,,,0,0,,,22666例2、设线性空间V中的元素组线性无关。求元素组生成的线性空间W的一组基以及W的维数。1234,,,12233441,,,解令112223334441,,,因为12341234123410011100,,,,,,,,,01100011A又0,A则线性相关。1234,,,由于A的左上角有一个3阶子式不为零，故线性无关。123,,所以，为W的一组基，且122334,,dim3.W解设和的解空间分别为AxO2AxO12,,WW因为的解一定是的解，此即AxO2AxO12,WW又有，根