高一必修2点线面经典例题

§2.1点、直线、面的位置关系一、平面知识要点1.点A在直线上,记作Aa；点A在平面内,记作A；直线a在平面内,记作a.2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,AlBllAB,,,,ABCABC不共线确定平面,lPPPl3.公理2的三条推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC.同理P面ADC.∵P在面ABC与面ADC的交线上，又∵面ABC∩面ADC=AC，∴PAC，即EF、HG、AC三线共点.【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线,,ABBCCA两两相交，交点分别为,,ABC，求证：直线,,ABBCCA共面.证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．因为A∈α，B∈α，所以ABα．同理BCα，ACα.所以AB，BC，CA三直线共面．【例4】在正方体1111ABCDABCD中，（1）1AA与1CC是否在同一平面内？（2）点1,,BCD是否在同一CBA平面内？（3）画出平面1AC与平面1BCD的交线，平面1ACD与平面1BDC的交线.解：（1）在正方体1111ABCDABCD中，∵11//AACC，∴由公理2的推论可知，1AA与1CC可确定平面1AC，∴1AA与1CC在同一平面内.（2）∵点1,,BCD不共线，由公理3可知，点1,,BCD可确定平面1BCD，∴点1,,BCD在同一平面内.（3）∵ACBDO，11DCDCE，∴点O平面1AC，O平面1BCD，又1C平面1AC，1C平面1BCD，∴平面1AC平面1BCD1OC，同理平面1ACD平面1BDCOE．二、空间中直线与直线之间的位置关系知识要点1.空间两条直线的位置关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2.已知两条异面直线,ab，经过空间任一点O作直线//,//aabb，把,ab所成的锐角（或直角）叫异面直线,ab所成的角（或夹角）.,ab所成的角的大小与点O的选择无关，为了简便，点O通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作ab.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（）.A.1条B.2条C.3条D.4条解：过P作a∥a，b∥b，若P∈a，则取a为a，若P∈b，则取b为b．这时a，b相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.记a，b所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a，b都成30°的直线．过点P与a，b都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a，b所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和l，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.【例2】如图正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1）∵正方体1111ABCDABCD中，1BB//1DD，∴BD//11BD.又∵111BDC中，PQFED1C1B1A1DCBAE、F为中点，∴EF//1112BD.∴//EFBD,即D、B、F、E四点共面.（2）∵1QAC平面，QBE平面，1PAC平面，PBE平面，∴1ACBEPQ平面平面.又1ACBER平面，∴1RAC平面，RBE平面，∴RPQ.即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得,ab.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，d.假设c，则cC,在平面内过点C作//cb，因为b//c，则//cc，此与ccC矛盾.故直线c.综上述，a、b、c、d四线共面.【例4】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°，∴AB1和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.三、直线与平面、平面与平面位置关系知识要点1.直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）.分别记作：l；lP；//l.2.两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作//；l.【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2，∴PM=PN=1.而AN=DN=3，由MN⊥AD，AM=1，得MN=2，∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC+BD=a，ACBD=b，求22EGFH.c'badcCBAABCDEHFG解：四边形EFGH是平行四边形，22EGFH=222()EFFG=22211()(2)22ACBDab.【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且23CFCGCBCD.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.证明：（1）在△ABD和△CBD中，∵E、H分别是AB和CD的中点，∴EH//12BD.又∵23CFCGCBCD，∴FG//23BD.∴EH∥FG.所以，E、F、G、H四点共面.ABCDEFGH