第一章集合1.4集合的运算1.1集合的含义与常用的数集1.2集合的表示方法1.3集合之间的关系1.5充分条件与必要条件付子文QQ:10330285601.1集合的含义和常用数集引入根据下面的例子向同学们介绍你原来就读的学校,你的兴趣、爱好及现在班级同学的情况。“我就读于第二十中学”“我喜欢打篮球、画画”“我现在的班级是高一(1)班,全班共40人,其中男生23人,女生17人。”1.1集合的含义和常用数集1.集合与元素一般地,某些指定的对象集中在一起就成为一个集合,也简称集,通常用大写字母A、B、C…表示.把具有某种属性的一些确定的对象叫做集合中的元素,通常用小写字母a、b、c…表示;BAab1.1集合的含义和常用数集2.集合和元素的关系如果a是集合A的元素,记作a∈A,读作a属于A;如果b不是集合B的元素,记作bB,读作b不属于B;AaBb1.1集合的含义和常用数集例:“中国古代的四大发明”构成一个集合,该集合的元素就是指南针、造纸术、活字印刷术、火药。“math”中的字母构成一个集合,该集合的元素就是m,a,t,h这4个字母。“小于5的正整数”构成一个集合,该集合的元素就是1,2,3,4这4个数。1.1集合的含义和常用数集3.集合中元素的性质思考:“聪明的学生”能否构成一个集合?“boss”是由b,o,s,s四个元素构成的吗?1.1集合的含义和常用数集(1)确定性:集合中元素必须是确定的,不确定的对象不能构成集合,如:“高三(1)班个子较高的同学”就不能构成集合思考:{a,2a-1}是否满足集合的确定性?(2)互异性:集合中任何两个元素都是不同的对象,如:“boss”中的字母构成集合中只有b,o,s这3个,而不能写出两个s。(3)无序性:同一集合中的元素之间无顺序。eg:{1,2,3}={3,1,2}={2,3,1}1.1集合的含义和常用数集4.常用的数集一般地,我们约定用一些大写英文字母,表示常用的一些数的集合(简称数集)。自然数集,记作N;正整数集,记作N+或N*;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R。1.1集合的含义和常用数集练习一判断下列语句能否确定一个集合(1)小于8的自然数;(2)本班个子高的同学;(3)参加2008年奥运会的中国代表团成员(4)友1,3/2,6/4,|-1/2|,1/2组成的集合1.1集合的含义和常用数集练习二判断下面关系是否正确(1)0∈Z(2)1/2∈Q(3)0∈N+(4)-8∈Z1.1集合的含义和常用数集练习三用“属于”和“不属于”的符号填入空格(1)1/5___Z(2)1.4142___Q(3)-19___N(4)___R√2+√5___{x|√=2+√3}71.1复习1、集合的含义一般地,某些指定的对象集中在一起就成为一个集合。2、集合中元素的特征(1)确定性(2)互异性(3)无序性3、常用数集自然数集N,正整数集N+或N*,整数集Z,有理数集Q,实数集R.1.2集合的表示方法1.集合的几种表示方法(1)列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于“{}”内,如{1,2,3,4}。用这种方法表示集合,元素之间需用逗号分隔,列举时与元素顺序无关。(2)描述法:将集合的所有元素都具有的性质表示出来,写成{x|P(x)}的形式(其中x为集合中的代表元素,P(x)为元素x具有的性质。如{x|x5且x∈N},{x|x是中国古代四大发明})1.2集合的表示方法(3)图示法1,2,3,4指南针,活字印刷术,火药,造纸术1.2集合的表示方法例1:由方程x2-1=0的解的全体构成的集合,可表示为(1)列举法:{1,-1}。(2)描述法:{x|x2-1=0,x∈R}(3)图示法:如下1,-11.2集合的表示方法有限集:含有有限个元素的集合,叫做有限集。{1,2,3,4}无限集:含有无限个元素的集合,叫做无限集。{x|x1,x∈R}1.2集合的表示方法例2:用列举法表示下列集合(1){x|x是大于2小于12的偶数}(2){x|x2=4}解:(1){4,6,8,10}(2){2,-2}1.2集合的表示方法例3:用描述法表示下列集合(1)南京市(2)不小于2的全体实数的集合解:(1){x|x是中华人民共和国江苏省省会};(2){x|x≥2,x∈R};1.2提高设集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q中元素的个数为?1.3集合之间的关系1.3.1子集,空集,真子集1.3.2集合的相等1.3.1子集,空集,真子集引入观察A,B集合之间有怎样的关系?(1)A={-1,1},B={-1,0,1,2};(2)A=N,B=R;(3)A={x|x为上海人},B={x|x为中国人}。1.3.1子集,空集,真子集很容易由上面几个例子看出集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,集合A,B的关系可以用子集的概念来表述。1.3.1子集,空集,真子集1.子集对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫集合B的子集,记作:AB(或BA),读作A包含于B(或B包含A)。注意符合方向BA如果集合A不是集合B的子集,记作:AB,读作:A不包含于B。包含关系具有传递性:若A⊆B,B⊆C,则A⊆C1.3.1子集,空集,真子集2.空集我们把不包含任何元素的集合叫空集,记作:我们规定:空集是任何一个集合的子集,即A1.3.1子集,空集,真子集3.真子集对于两个集合A、B,如果A包含于B,且B中至少有一个元素不属于A,则称集合A是集合B的真子集,记作:AB(或BA),读作:A真包含于B(或B真包含A)。如:{a,b}{a,b,c}1.3.1子集,空集,真子集由子集和真子集的定义可知:对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC对于A,B,C,若AB,BC,则AC1.3.1子集,空集,真子集例1:说出集合A={a,b}的所有子集与真子集。解:集合A的所有子集是:,{a},{b},{a,b}上述集合除了{a,b},剩下的都是A的真子集。1.3.1子集,空集,真子集例2:说出下列各组的三个集合中,哪两个集合之间有包含关系?(1)S={-2,-1,0,1,2},A={-1,1}B={-2,2};(2)S=R,A={x|x=0,x∈R},B={x|x0,x∈R}。解:在(1)与(2)中,都有AS,BS1.3.1复习1、子集对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫集合B的子集,记作:AB(或BA),读作A包含于B(或B包含A)。2、空集我们把不包含任何元素的集合叫空集,记作:3、真子集对于两个集合A、B,如果A包含于B,且B中至少有一个元素不属于A,则称集合A是集合B的真子集,记作:AB(或BA),读作:A真包含于B(或B真包含A)。1.3.2集合的相等对于两个集合A与B,如果AB,且BA,则称集合A与B相等,记作A=B。例如:A={x|x2=4},B={2,-2}A和B就是两个相等的集合。1.3.2集合的相等例1:说出下面两个集合的关系(1)A={1,3,5,7},B={3,7};(2)C={x|x2=1},D={-1,1};(3)E={偶数},F={整数}。解:(1)BC(2)C=D(3)EF1.3.2复习对于两个集合A与B,如果AB,且BA,则称集合A与B相等,记作A=B1.4集合的运算1.4.1交集1.4.2并集1.4.3补集1.4.1交集1、引入观察下列两组集合并用图示法表示出来(1)A={x|x为会打篮球的同学},B={x|x为会打排球的同学},C={x|x为既会打篮球又会打排球的同学};(2)A={-2,-1,0,1,2},B={-2,-1,3}C={-1,-2}。观察上述组合A,B,C都有怎样的关系?1.4.1交集很容易看出集合C中的元素既在集合A中,又在集合B中。ABC1.4.1交集2、交集的概念一般的,由所有属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集,记作A∩B,读作“A交B”。ABA∩B1.4.1交集ABA∩B≠ΦA∩B=Φ相交不相交BAA∩B=AA∩A=AA∩B=B∩AA∩Φ=Φ1.4.1交集3、交集的性质对于任意两个集合都有(1)A∩B=B∩A(2)A∩A=A(3)A∩=∩A=(4)如果AB,则A∩B=A1.4.1交集例1:已知A={1,2,3,4},B={3,4,5},求A∩B。解:A∩B={1,2,3,4}∩{3,4,5}={3,4}1,253,4练习1:设A={12的正约数},B={18的正约数},用列举法写出12与18的正公约数集。解:A={1,2,3,4,6,12}B={1,2,3,6,9,18}12与18的正公约数集是A∩B={1,2,3,4,6,12}{1,2,3,6,9,18}={1,2,3,6}练习2A={-4,-3,-2,-1,0,1,2}B={4,3,2,1,0,-1,-2},求A∩B∩1.4.1交集例2:已知A={菱形},B={矩形},求A∩B。解:A∩B={菱形}∩{矩形}={正方形}菱形矩形正方形1.4.1交集例3:已知A={(x,y)|2x+3y=1},B={(x,y)|3x-2y=3},求A∩B。解:A∩B={(x,y)|2x+3y=1}∩{(x,y)|3x-2y=3}={(x,y)|2x+3y=1}3x-2y=3={(11/13,-3/13)}1.4.1交集练习31、已知A={1,3,4},B={3,4,5,6},求A∩B。解:A∩B={1,3,4}∩{3,4,5,6}={3,4}1.4.1交集练习42、已知A={a,b,c,d},B={b,d,m,n},求A∩B。解:A∩B={a,b,c,d}∩{b,d,m,n}={b,d}1.4.1交集复习1、交集的概念和表示方法2、交集的性质1.4.1交集思考设集合M={m∈Z|-3m2},N={n∈Z|-1=n=3},求M与N的交集?1.4.2并集引入观察下列集合A,B,C有怎样的关系?A={2,4,6},B={4,8,12},C={2,4,6,8,12}容易看出来,集合C中的元素是由集合A和集合B中的元素合并在一起构成的1.4.2并集定义:一般的,对于两个给定集合A,B,把它们所有的元素合并在一起构成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”。ABAB1.4.2并集并集的性质(1)A∪B=B∪A;(2)A∪A=A;(3)A∪=∪A=A。若AB,则A∪B=B;若AB,则A∪B=A1.4.2并集例1:已知:A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},求A∪B。解:A∪B={1,2,3,4}∪{3,4,5,6,7}={1,2,3,4,5,6,7}1.4.2并集例2:已知N={自然数},Z={整数},求N∪Z。解:N∪Z={自然数}∪{整数}={整数}1.4.3补集引入观察下列各组中的三个集合,它们之间有什么关系?(1)S={-2,-1,1,2},A={-1,1},B={-2,2};(2)S=R,A={x|x≤0,x∈R},B={x|x0,x∈R}。1.4.3补集设有两个集合A,S,由S中不属于A的所有元素组成的集合,成为S的子集A的补集,记作CsA(读作“A在S中的补集”)即CsA={x|x∈S且xA}。如图:深色部分为A在S中的补集。AS1.4.3补集如果集合S中包含我们所要研究的各个集合,这时S可以看做一个全集,通常记作U。例如,在研究实数时,常把实数集R作为全集。由补集的定义可知,对于任意集合A,有:A∪CuA=UA∩CuA=Cu(CuA)=A1.4.3补集例1已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,5},求CuA,A∩CuA,A∪CuA。解:CuA={3,4,6},A∩CuA=,A∪CuA=U。1.4.3补集例2已知U={实数},Q={有理数},求CuQ。解:CuQ={无理数}。1.4.3补集