2017-2018学年高一数学北师大版必修4第2章§4平面向量的坐标

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评§4平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示上一页返回首页下一页1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1平面向量的坐标表示阅读教材P88～P89“4.2”以上部分，完成下列问题．图2­4­1上一页返回首页下一页如图2­4­1所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向的两个向量i，j作为，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知一对有序实数(x，y)，使得a＝.我们把有序实数对称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．相同单位基底有且只有xi＋yj(x，y)上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的坐标相同．()【解析】(1)错误．无论向量在何位置其坐标不变．(2)错误．向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标．(3)正确．两相等向量的坐标相等．【答案】(1)×(2)×(3)√上一页返回首页下一页教材整理2平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示阅读教材P89～P91“练习”以上部分，完成下列问题．1．平面向量的坐标运算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么：①a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝；②a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝；③λa＝λ(x1，y1)＝．(λx1，λy1)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．(x2－x1，y2－y1)上一页返回首页下一页2．向量平行的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为(2)文字语言描述向量平行的坐标表示①定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标②定理若两个向量相对应的坐标．x1y1＝x2y2x1y2－x2y1＝0成比例成比例上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.()(2)向量a＝(1,2)与b＝(－3，－6)共线且同向．()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则x1y1＝x2y2.()【解析】(1)正确．a∥b，则a＝λb可得x1y2＝x2y1.(2)错误．a＝－3b，a与b共线且反向．(3)错误．若y1＝0，y2＝0时表达式无意义．【答案】(1)√(2)×(3)×上一页返回首页下一页[小组合作型]平面向量的坐标表示已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量AB→，AC→，BC→，BD→的坐标．【精彩点拨】表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→得相应向量的坐标上一页返回首页下一页【自主解答】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，3)，D12，32，∴AB→＝(2,0)，AC→＝(1，3)，BC→＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD→＝12－2，32－0＝－32，32.上一页返回首页下一页1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义进行计算．上一页返回首页下一页[再练一题]1．已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量AB→，BC→.上一页返回首页下一页【解】如图所示，以点O为原点，OA→所在射线为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．∵|OB→|＝1，∠AOB＝150°，∴B(－cos30°，sin30°)，即B－32，12.∵|OC→|＝3，∴C(－3sin30°，－3cos30°)，上一页返回首页下一页即C－32，－323.又∵A(2,0)，∴AB→＝－32，12－(2,0)＝－32－2，12，BC→＝－32，－323－－32，12＝3－32，－323－12.上一页返回首页下一页XXX向量坐标的线性运算已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→.求点C，D和CD→的坐标.【导学号：66470051】【精彩点拨】先求出AB→的坐标，然后求AC→，DA→的坐标，最后求出OC→，OD→及CD→的坐标．上一页返回首页下一页【自主解答】∵A(－1,2)，B(2,8)，∴AB→＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，AC→＝13AB→＝(1,2)，DA→＝－13BA→＝13AB→＝(1,2)，设O为坐标原点，则OC→＝OA→＋AC→＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，上一页返回首页下一页OD→＝OA→＋AD→＝OA→－DA→＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)，∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此CD→＝(－2，－4)．上一页返回首页下一页1．向量的坐标形式的线性运算，主要是利用加、减、数乘运算法则进行．2．平面向量线性运算的坐标表示，把平面向量的线性运算转化为实数运算．这样使向量的线性运算更简便，其前提是先求出参与运算的向量的坐标．上一页返回首页下一页[再练一题]2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c的坐标；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标．上一页返回首页下一页【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．上一页返回首页下一页(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.上一页返回首页下一页(3)设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴MN→＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．上一页返回首页下一页[探究共研型]向量平行的坐标表示探究1设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若向量a，b共线，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？【提示】这两个向量的坐标应满足x1y2－x2y1＝0，反之成立．即a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.探究2如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？【提示】当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．上一页返回首页下一页已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？【精彩点拨】由a，b的坐标→求ka＋b，a－3b坐标→由向量共线的条件列方程组→求k的值→判断方向上一页返回首页下一页【自主解答】法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－13.上一页返回首页下一页即当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，∵λ＝－13＜0，∴ka＋b与a－3b反向．上一页返回首页下一页法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－13.此时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)．∴当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．上一页返回首页下一页解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解.上一页返回首页下一页[再练一题]3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．上一页返回首页下一页【解】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－12.(2)∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴2＝λ，3＝mλ，解得m＝32.上一页返回首页下一页1．下列各组向量共线的是()A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a2＝(2,3)，b2＝(3,2)C．a3＝(1,2)，b3＝(7,14)D．a4＝(－3,2)，b4＝(6,4)【解析】因为b3＝(7,14)＝7(1,2)＝7a3，所以a3与b3共线．【答案】C上一页返回首页下一页2．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则a＋b＝()A．(8，－1)B．(0,7)C．(7,0)D．(－1,8)【解析】a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)＝(0,7)．【答案】B上一页返回首页下一页3．已知A(4,1)，B1，－12，Cx，－32，若A，B，C共线，则x＝.【导学号：66470052】【解析】因为AB→＝－3，－32，AC→＝x－4，－52，所以－32(x－4)＝152，解得x＝－1.【答案】－1上一页返回首页下一页4．已知点A(2,3)，B(－1,5)，且AC→＝13AB→，则点C的坐标为．【解析】AC→＝13AB→＝－1，23，设O为坐标原点，则OC→＝OA→＋AC→＝1，113，即C1，113.【答案】1，113上一页返回首页下一页5．已知A(1,2)，B(3，－6)，向量a＝(x＋3，y－4)．若a＝2AB→，求x，y的值．【解】由题意得AB→＝(3，－6)－(1,2)＝(2，－8)，所以2AB→＝2(2，－8)＝(4，－16)．又因为a＝(x＋3，y－4)，a＝2AB→.所以x＋3＝4，y－4＝－16，解得x＝1，y＝－12.