§2.3.2_双曲线的简单几何性质(2)

2.3.2双曲线的简单几何性质（2）关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率1(0,0)xyabab2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）100yx(a,b)ab2222,yayaxR≥≤，或关于x轴、y轴、原点对称(1)ceea渐近线ayxb..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c),xaxayR≥≤，或(1)ceeabyxa（22220xyab）（22220yxab）1,(2.281)12,13,25,55.,(1).mmmmm例双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面图它的最小半径为上口半径为下口半径为高试选择适当的坐标系求出此双曲线方程精确到8221.图`AABB`C`Cxy8222.图131225O`AABB`C`Cxy8222.图131225O.`||,`||,``,,.,`,,.2252132822BBCCxBBCCxAAxOy且轴都平行于上、下口的直径这时重合圆心与原点轴上在径使小圆的直角坐标系建立直如图解,,0012222babyax设双曲线的方程为.,5525yB的坐标为则点,,yC13的坐标为令点所以在双曲线上因为点,,CB`AABB`C`Cxy8222.图131225O2112131155122522222222.,byby,,负值舍去得由方程1252by..,,25018150275191551251225122222bbbbb用计算器解得化简得得代入方程.,162514422yx所求双曲线的方程为所以2,5,0165:,.54MxyFlxM例点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数求点的轨迹.45516522xyx由此得HFxyMOd922.图,||5,4dMlMFPMd解:设是点到到直线的距离所求轨迹就是集合22229161441169,,,.xyxy将上式两边平方并化简得即86,.M所以点的轨迹是实轴、虚轴长分别为、的双曲线平面内与一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数e=(e1)的动点的轨迹是双曲线。ca焦点F1(c,0)对应的准线方程为2axc焦点F2(-c,0)对应的准线方程为2axc双曲线第二定义oxy解：4,2)x21y4xM（的交于＝与渐近线＝点作直线过Q321,2Myxx点在直线＝的下方，即双曲线焦点在轴上2222100(,)xyabab设双曲线方程为得到入上式代），把双曲线经过点（,)3,4(34,1,4)2),122ba解得由例3.已知双曲线的渐近线是，并且双曲线过点02yx)3,4(M,求双曲线方程。Q4M2222431()ab1)12yx又渐近线是＝21ab2)4221.xy双曲线方程为－＝【例题讲解】法一:直接设标准方程,运用待定系数法;2244.xy所求双曲线方程为－＝022yx双曲线的渐近线方程为：解2240().xy可设所求双曲线的方程为)3,4(M双曲线过点.)3(44224法二:巧设方程,运用待定系数法.例3.已知双曲线的渐近线是，并且双曲线过点02yx)3,4(M,求双曲线方程。222222220010.(),.xxyxyabaabyb双曲线的渐近线方程是即2222200.).(xyaxyabb渐近线方程为的双曲线方程是技法要点：λ0表示焦点在x轴上的双曲线；λ0表示焦点在y轴上的双曲线。法一:直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)变式1：求与双曲线2214xy有共同渐近线，且过点N(4,5)的双曲线的方程.解:双曲线2214xy的渐近线为12yx,令x=4,y=2,因25,故点(4,5)在直线12yx上方∴双曲线焦点在y轴上,∴设双曲线方程为22221yxab(a0,b0),∴222212(5)41abab解之得2214ab,∴双曲线方程为2214xyoxyNQ法二：巧设方程,运用待定系数法.由题意可设双曲线方程为,22(0)4xy224(5)412214xy双曲线的方程为45(,)双曲线过点N2222222210()xyxyabab与共渐近线的双曲线系方程为技法要点：变式1：求与双曲线2214xy有共同渐近线，且过点N(4,5)的双曲线的方程.例4：求与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2)的双曲线的方程.法一:直接设标准方程,运用待定系数法解:设双曲线方程为22221xyab(a0,b0)则22222220(32)21abab解之得22128ab∴双曲线方程为221128xy法二：巧设方程,运用待定系数法.由题意可设双曲线方程为221164xykk16040kk且221128xy∴双曲线方程为22(32)21164kk∴,解之得k=4,222221201230,()xymmm或设求得舍去例4：求与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2)的双曲线的方程.22222222222222111,xymmxyabcxymcm注：与共焦点的椭圆系方程是双曲线系方程是技法要点：解1：椭圆的焦点在x轴上，且坐标为），（，，022)022(21FF22.xc双曲线的焦点在轴上，且双曲线的渐近线方程为xy3322222383.bcababa，而，解出2262.ab，22162.xy双曲线方程为【巩固练习】变式2.求与椭圆221168xy有共同焦点，渐近线30xy的双曲线方程。2222218280,()xcmymm解:由于共焦点，设双曲线为变式2.求与椭圆221168xy有共同焦点，渐近线30xy的双曲线方程。2833,mm22983()mm22682,mm解得22162.xy所求方程为双曲线的渐近线方程为xy33方程为2222222210()xyabxyab1.与共渐近线的双曲线系方程为22222222222222111,.xymmcxxyaymcmb2.与共焦点的椭圆系方程是双曲线系方程是【课堂小结】双曲线的猜想:(以双曲线22221(0,0)xyabab为例)1.00(,)Pxy是双曲线22221xyab上的任意一点，实轴两端点为1(,0)Aa、2(,0)Aa，则两直线1PA、2PA的斜率之积12PAPAkk等于常数_____.22ba2.00(,)Pxy是双曲线22221xyab的任意一点,左焦点(,)0Fc左,右焦点(,)0Fc右,则___________PF左,_____________PF右,反过来,满足这一条件的点在双曲线上.0aex0aex由此可知,minPFca右.离和它到定直线2:axc的距离的比是__________.3.00(,)Pxy是双曲线22221xyab上的任意一点到右焦点(,)0Fc右的距常数cea那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?2231492454xye、求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。.1916,91625,4455,1505.5,252449222222222yxbaaayaxcc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），，焦点为（得解：由1,1122222222222222mcymxcmymxbyax双曲线系方程是共焦点的椭圆系方程是注：与202双曲线实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点坐标为，,则标准方程为222222(1)1142xyxyaaa椭圆与双曲线焦点相同,则22222222.1,.1,.1,.144444884xyyxyxxyABCDB1练习22212112222222231165,.1,.1,.1,.116251625169169xyAbABxyxyxyxyABCD1已知双曲线的实轴的一个端点为,虚轴的一个端点为B,且则双曲线方程为C