浅谈微分中值定理的推广

浅谈微分中值定理的推广摘要：微分中值定理的应用十分广泛，本文较系统地从几个方面归纳总结了微分中值定理的推广：一是将传统微分中值定理推广到有限个函数的情形；二是将一元函数的微分中值定理推广到二元函数的情形；三是将有限区间上的中值定理推广到无限区间上，得出微分中值定理推广的相关结论，使得对于微分中值定理的相关研究变得更加丰富、深刻和系统。关键词：微分；中值定理；推广1传统微分中值定理微分中值定理是数学分析中微积分的重要定理，它在应用导数来研究函数以及曲线的某些性态中具有十分重要的作用。我们主要讨论一元微分中值定理，包括罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理三大定理。定理1(Rolle定理)若函数f满足如下条件：(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b)。则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=0。定理2(Lagrange定理)若函数f满足如下条件：(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得abafbff'。定理3(Cauchy中值定理)若函数f、g满足如下条件：(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f′与g′在(a,b)内不同时为零;(4)g(a)≠g(b);则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得agbgafbfgf''。传统微分中值定理主要应用有：求不定式极限、求函数的极值与最值、讨论函数图像的性质等，在此不做详细举例。传统微分中值定理十分重要，它是用一元函数导数或微分解决实际问题的桥梁。然而，它的条件比较苛刻，适用范围也十分有限，故对其进行推广，使微分中值定理的适用范围更广泛。2有限个函数的广义微分中值定理2.1有限个函数的广义Rolle定理定理4(广义Rolle定理)设有n个函数12,,,nfxfxfx，在闭区间[a,b]1上连续,在开区间(a,b)内可导,则nibfafii,2,1线性相关,即存在n个不全为零的实数n，，21,使得01niiiiafbf（1）且存在ba,，有niiif1'0（2）证明先证(1)成立。考虑n个实数nibfafii,2,1。事实上,若此n个实数全为零,则显然存在不全为零的实数n，，21满足(1)式,此时,bfafii线性相关;若有一个0bfafii,则对于不全为零的1,2,,,jjnji且取afbfafbfiiijjjj1即可。设niiixfx1F，则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(b)–F(a)=01niiiiafbf,故由罗尔定理可知存在∈(a,b),有01'niiif。我们可以看到,在广义罗尔定理中,若令n=2,则有0)()(222111afbfafbf令xfxfxxf12,，则有12)()(abbfaf(显然1≠0,若不然,则2=0,不满足(1)),即为拉格朗日中值定理。例1123()(),()fxfxfx，在,ab上连续，在,ab内可导，且1122()()()()fafbfafb，试证存在,ab，使得123123'''123()()()()()()0()()()fafafafbfbfbfff证明记123123123()()()()()()()()()()fafafaFxfbfbfbfxfxfx2223313311211223()()()()()()()()()()()()()()()fafbfafbfxfafbfafbfxfafbfafbfx令12233()()()()fafbfafb23311()()()()fafbfafb31122()()()()fafbfafb则123,,不全为零。由定理4知，存在,ab，使得：3'1()0iiif即'()0F。2.2有限个函数的广义Cauchy中值定理我们注意到,定理3中的第(3)条要求)('xf与)('xg在(a,b)内不同时为零,这一条件比较苛刻,使使用范围受到限制。如53)(,)(xxgxxf,它们在[-1,1]上连续,在(-1,1)内可导,且存在=）（,11515，使得1)()()1()1()1()1(''gfggff，但此时,0)0()0(''gf，是不符合第(3)条的。我们可以将原柯西中值定理修正部分条件,可避免这样的问题。引理1(Cauchy中值定理推广之一)如果)(),(xgxf在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且)()(bgag,则在(a,b)内至少存在一点,使得)()()()()()(''gagbgafbff（3）进一步,若0)('g,则有)()()()()()(''agbgafbfgf（4）证明作辅助函数)()()()()()()()()(Fagxgagbgafbfafxfx。3可以看出F(x)在[a,b]满足罗尔定理条件,故存在ba,，有0)()()()()()()(F'''gagbgafbff,于是(3)式成立,若0)('g,则(4)式成立。定理5(有限个函数的广义Cauchy中值定理)设函数xfxfxfn,,,21,满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)函数xfxfxfn,,,21在开区(a,b)内可导;(3)1,2,jjfafbn，j;则在(a,b)内至少存在一点,使得',11()0niijijjjfbfaffbfa（5）证明作辅助函数,1G()1()niijijjjfbfaxfxfbfa,则由条件可知G(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,并且)()(1)()(1,afbfafbfafbfaGbGjjnjijjii01,njijjiiafbfafbf即G(b)=G(a),故由罗尔定理可知至少存在一点ba,,使得0)(1)(G'1,'jnjijjiifafbfafbf当式(5)中n=2时,则得到0)(1)()()()()(1)()()()('22211'11122fafbfafbffafbfafbf整理得)()()()()()(22'211'1afbffafbff（6）若令xgxfxfxf21,,则式(6)实际是(4)的变形。4若0)('2f,则)()()()()()(2211'2'1afbfafbfff,这就是著名的柯西中值定理。在式(5)中,xxfn2,2时,即是著名的拉格朗日中值定理。3二元函数的广义微分中值定理3.1术语和符号说明在此先列出讨论中常用到的术语和记号：m,n表示正整数,nR表示n维欧氏空间.Tnxxxx,,21表示nR中的向量,其中Tnxxx,,21表示nxxx,,21的转置.nnyxyxyxyx2211表示x与y的数量积.‖x‖=22221nxxx为x的范数或模.nm0表示m行n列的零矩阵.对0,0rRxn,记D(0x,r)={0x∈nR:‖x-0x‖≤r},B(0x,r)={x∈nR:‖x-0x‖r},S（0x,r)={x∈nR:‖x-0x‖=r}.3.2二元函数的广义Rolle定理由于一元函数与多元函数在性质上有较大的差异,而二元函数到n(n2)元函数在性质上差异不大,但二元函数比n(n2)元函数有较直观的几何解释,因此下面主要以讨论二元函数为主.首先注意到,若),(yxf在00,yx有极值,则当0y固定时,作为x的一元函数0,yxf,显然在0x有极值;同样地,当0x固定时,作为y的一元函数yxf,0,显然在0y有极值.于是,由一元函数的Fermat定理,我们得到引理2(Fermat定理)设),(yxfz满足下列条件:1、),(yxf在00,yx有一个极值;(2)),(yxf在00,yx可微;则0),(00yxxf且0),(00yxyf,即),(yxf在00,yx的梯度512000000'0),(),(),(Tyxyfyxxfyxf（7）引理3设RRrxDyxfz20),(:),(是连续的,则),(),(0rxDyxfz在上有最大值和最小值,即存在),(,021rxDQQ,使得),(),(:,max)(01rxDyxyxfQf,),(),(:,min)(02rxDyxyxfQf.（8）定理6设RRrxDyxfz20),(:),(满足下列条件:(1)),(yxf在),(0rxD上连续;(2)),(yxf在),(B0rx内可微;(3)),(yxf在),(S0rx上取值为常数;则在),(B0rx内至少存在一点），（,使得12'0），（f.这个定理的证明类似于一元函数的Rolle中值定理的证明,在此略去.它的几何意义是:在开曲面),(),(),(0rxByxyxfz，内存在一点)),(,,(fC,使得曲面上过C点的切平面平行于yxO平面.例如开曲面22224xyz在22,|216xyxy上连续，在22,|216xyxy内可微，(,)fxy在22,|216xyxy上取常数6，满足定理6的条件。则在22,|216xyxy内存在一点（0,0），使得'21(0,0)0f。即存在一点（0,0,2）使得曲面上过该点的切平面平行于xOy平面。3.3二元函数的广义Lagrange定理定理7设RRrxDyxfz20),(:),(满足下列条件:(1)),(yxf在),(0rxD上连续;(2)),(yxf在),(B0rx内可导;6(3)),(),(|),(,,0rxSyxyxfyxW共面,即存在xyzO中的一个平面π:ax+by+cz=d,使得集合W中的点都在平面π上;则在),(B0rx内至少存在一点），（,使得Tcbcaf），（'.（9）从几何上看，曲面),(D),(),(0rxyxyxfz，上过)),(,,(f的切平面平行于平面π.证明显然平面π的方程ax+by+cz=d中的系数c≠0.构造辅助函数ycbxcayxfyx),(),(F则容易验证),(yxFz满足定理1的所有条件,所以在),(B0rx内至少存在一点），（,使得12'0F），（，即Tcbcaf），（'.因此曲面),(D),(),(0rxyxyxfz，上过)),(,,(f的切平面平行于平面π.证毕.3.4二元函数的广义Cauchy中值定理当),(),(|),(,,0rxSyxyxfyxW不共面时,我们有：定理8设RRrxDyxfz20),(:),(满足下列条件:(1)),(yxf在),(0rxD上连续;(2)),(yxf在),(B0rx内可导;则对于),(S0rx上的任意2个不同的点),(11yx,),(22yx,存在),(B0rx），（,使得曲面),(D),(),(0rxyxy