2017导数的应用(1).ppt

洪泽外国语中学程怀宏1、求函数在某点的切线方程2、判断单调性、求单调区间3、求函数的极值4、求函数的最值…导数主要有哪些方面的应用?应用一、判断单调性、求单调区间函数的导数与函数的单调性之间的关系？判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法1)如果在某区间上f′(x)0，那么f（x）为该区间上的增函数，2)如果在某区间上f′(x)0，那么f（x）为该区间上的减函数。一般地，设函数y＝f（x），aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数。要点·疑点·考点设f(x)=x3-x2-2x+5，求函数f(x)的单调递增、递减区间;12例1：解:(1)f(x)=3x2-x-2,令f(x)0得-x1;23令f(x)0得x-或x1.23∴y=f(x)的单调递减区间是(-,1);23单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞).23说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能用连接，只能用逗号分开写，或者可用“和”连接。由即得x-1或x1.,0)1(210)(xxxf解:函数的定义域是(-1,+∞),.)1(211121)(xxxxf又因为函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);由解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).0)(xf练习1:求函数f(x)=x/2-ln(1+x)+1的单调区间:说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间时,一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.求函数的单调区间的步骤：（1）求定义域（2）求出函数的导函数（3）求解不等式f`(x)＞0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（4）求解不等式f``(x)＜0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间02xa则2()12fxxax解：＝62()0,120fxxax令即6练习2：求的单调减区间32()267(0)fxxaxa(2)0xxa即(1)20,0,aa当时即()02)fxa所以的单调减区间为（，20,0,aa（2）当时即()20)fxa所以的单调减区间为（，20ax则练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函数,y=/(x)的图象如右图所示,则y=(x)的图象最有可能的是()xyO12xyO12(A)xyO12(B)xyO12(D)yx12(C)y=f'(x)例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.163)(2xaxxf解：∵函数f（x）在R上是减函数恒成立0163)(2xaxxf00a0)1(34-360aa即3a解得：一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义——导数的应用二、求函数的极值yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.f(x)0yxOx1abyf(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)0f(x)0f(x)0极值和导数x2•导数为0的点不一定是极值点；•极值点处的导数不一定是存在的；•若极值点处的导数存在，则一定为0，且极值点两侧导函数异号。①如果在x0附近的左侧f/（x）0,右侧f/(x)0,那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f/(x)0,右侧f/(x)0,那么,f(x0)是极小值.判别函数f(x)在f(x0)是极大(小)值的方法是:左正右负为极大值，左负右正为极小值。例1:判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②函数在极值点必有定义；③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②xy2如例2：求f(x)=x3-12x+1的极值.列表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)00f(x)因此,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=17;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5↗↘↗极大值f(-2)极小值f(2)解:令=3x2-12=0,解得x1=-2,x2=2)(xf++-求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为区间段，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；练习1.（2005年北京卷）如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：________)(,21)5()(,2)4()5,4()()3()3,21()()2()21,3()()1(则上述判断中正确的是有极大值函数时当有极小值函数时当内单调递增在区间函数内单调递减在区间函数内单调递增在区间函数xfyxxfyxxfyxfyxfyx12345y-1-2-3021(3)abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O练习2：（天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f’(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有（）极小值点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析:函数在开区间内有极小值的点即原函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点.A注：满足f′(x0)=0的点x=x0只是它为极大(小)值点的必要而不充分条件，如果一味地把该点等同于极值点，往往容易导致失误。函数f(x)=x3的极值点有几个?C导数的应用三、函数的最值.在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf一、是利用函数单调性性；二、是利用不等式中的均值定理；三、是利用导数思考：求函数最值的一般方法：当然还有配方法,判别式法,换元法,数形结合法等例题1：求下列函数的最值:(1)f(x)=x3-3x2+6x-2,x[-1,1].解:(1)∵f(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3[(x-1)2+1]0恒成立,∴f(x)在[-1,1]上单调递增.∴f(x)min=f(-1)=-12,f(x)max=f(1)=2.(2)y=x4-2x2+5,x[-2,2](2)y=x4-2x2+5,x[-2,2]x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y′-0+0-0+y1313454)1)(1(444:3xxxxxy解1,0,1,0)1)(1(4,0xxxxy得则令当x变化时，y′、y的变化情况如下表：故函数的最大值为13,最小值为4.例2:已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调性;(2)若x∈[0,3],求f(x)的最值.解：（1）f'(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f'(-1)=f'(1)=0，即解得a=1，b=0∴f（x）=x3－3x，f'(x)=3x2－3=3（x+1)(x-1)令f'(x)＞0，则x∈（－∞，－1）或（1，+∞），故f（x）在（－∞，－1）,（1，+∞）上是增函数，令f'(x)＜0，则x∈（－1，1），故f（x）在（－1，1）上是减函数.0323,0323baba例2:已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调性;(2)若x∈[0,3],求f(x)的最值.解:(2)f(x)=x3－3x∴f'(x)=3x2－3=3（x+1)(x-1)令f'(x)=0,解得x1=-1(舍),x2=1∵f(0)=-3,f(1)=0,f(3)=24∴f(0)=-3为函数f（x）在[0,3]上的最小值.f(3)=24为函数f（x）在[0,3]上的最大值.∴f(x)max=24,f(x)min=-3说明：对于闭区间[a,b]上的连续函数,如果在相应开区间(a,b)内可导,求[a,b]上最值可简化过程,即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大（或最小）的函数值，就是最大（或最小）值．练习：已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a,b的值,并求出f(x)的单调区间.解:由已知可得:-1=f(1)=1-3a+2b,即3a-2b=2.①又f(x)=3x2-6ax+2b,0=f(1)=3-6a+2b,即6a-2b=3.②∴f(x)=3x2-2x-1.由①,②解得a=,b=-.1213由f(x)=0得,x=1或-.13∴当x-或x1时,有f(x)0;13当-x1时,有f(x)0.13故f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞);1313f(x)的单调递减区间是(-,1).归纳总结：•应用一:函数的单调性(求函数的单调区间时,首先确定函数的定义域)•应用二:函数的极值(求极值时应采用列表的方法)•应用三:函数的最大值与最小值(要注意极值和最值的区别)本节课主要复习了导数哪几方面应用作业:《新课程新一轮》第65课课堂卷.93)(23axxxxf练习:(2005年高考·北京卷)已知函数（Ⅰ）求f(x)的单调减区间；（Ⅱ）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值与极值..93)(23axxxxf练习:(2005年高考·北京卷)已知函数（Ⅰ）求f(x)的单调减区间；（Ⅱ）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值与极值..963)(2xxxf0)(xf,31xx或).,3(),1,(解:（I）令解得所以函数f(x)的单调递减区间为（Ⅱ）若f(x)在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值与极值.解、x-2(-2，-1)-1(-1，2)2y|0y-+2+a22+a极小值,218128)2(aaf,2218128)2(aaf).2()2(ff（II）因为所以0)(xf因为在（－1，3）上所以f(x)在[－1，2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值.,2022a于是有.2a解得.293)(23xxxxf故,72931)1(f因此即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值和极值都为-7.欢迎各位专家多提宝贵意见！