搜索
第1页共31页第一章数列一、课程要求数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。1、了解数列的概念，概念2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。3、探索并掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系。4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。5、探索并掌握等比数列的前n项和公式，体会等比数列的前n项和公式与指数型函数之间的关系。6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应问题。二、编写意图：1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。如类比思想、归纳思想、第2页共31页数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。三、教学内容及课时安排建议。本章教学时间约13课时。§1数列1.1数列的概念约1课时1.2数列的函数特性约1课时§2等差数列2.1等差数列约2课时2.2等差数列的前n项和约2课时§3等比数列3.1等比数列约2课时3.2等比数列的前n项和约2课时§4数列在日常经济生活中的应用约1课时问题与小结约2课时评价建议：1、重视对学生数学学习过程的评价。关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。正确评价学生的数学基础知识和基础技能。关注学生在数列知识的学习过程中，能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，发现数列的等差关系或等比关系，正确运用等差数列、等比数列的通项公式和求和公式解决具体问题。1.1数列的概念教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已第3页共31页知去研究未知的能力。教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。教学方法：讲授法为主教学过程:一．揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．二．讲解新课:要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：①自然数排成一列数：②3个1排成一列：③无数个1排成一列：④的不足近似值，分别近似到排列起来：⑤正整数的倒数排成一列数：⑥第4页共31页函数当依次取时得到一列数：⑦函数当依次取时得到一列数：⑧请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项．以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．2．数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．3．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数第5页共31页列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（1）列举法:．简记为．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（2）图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式．（3）通项公式法:如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列的通项公式，则．值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．第6页共31页（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系是，再给定，便可依次求出各项．再如数列中，，这个数列就是．像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．三．小结:1．数列的概念2．数列的四种表示四．作业习题1---1P9A组第4题；B组第1题。五．板书设计数列（一）数列的概念涉及的数列及表示1．数列的定义2．数列与函数的关系3．数列的表示法（1）列举法（2）图示法（3）通项公式法（4）递推公式法1.2数列的函数特性教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n项和与的关系；4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项第7页共31页教学难点：理解递推公式与通项公式的关系内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….⒊数列的一般形式：，或简记为，其中an是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7．有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8．无穷数列：项数无限的数列.二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：14＝1+3第8页共31页第2层钢管数为5；即：25＝2+3第3层钢管数为6；即：36＝3+3第4层钢管数为7；即：47＝4+3第5层钢管数为8；即：58＝5+3第6层钢管数为9；即：69＝6+3第7层钢管数为10；即：710＝7+3若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系:自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1即依此类推：（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要定义：1．递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式说明：递推公式也是给出数列的一种方法如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：2．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为.表示前1项之和：=表示前2项之和：=……表示前n-1项之和：=表示前n项之和：=.∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.3．与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，；当n≥2时，，即第9页共31页说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解例1已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项解：由已知得例3已知，写出前5项，并猜想．法一：法二：例4已知数列的前n项和，求数列的通项公式：⑴an=n2+2n；⑵an=n-2n-1.解：⑴①当n≥2时，an=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，an=1+2×1=3；③经检验，当n=1时，2