大学物理 CH6.1-4 振动与波

第六章振动与波振动：物理量随时间t作周期性变化波：振动在空间的传播，同时也是能量的传播。一、弹簧振子模型xFx0kmkxF小幅振动满足胡克定律：物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为线性回复力。第一节简谐振动令mk2微分方程的解:0cos()xAt0dd22xmktx即：0dd222xtx这样的运动规律符合余弦（或正弦）函数形式，叫做简谐振动(simpleharmonicvibration)。系统在类似的线性回复力作用下，一定是做简谐振动。kxma根据牛顿第二运动定律：（动力学方程）★简谐振动的运动方程0cos()xAtA—振幅(amplitude)离开平衡位置的最大位移，由系统开始振动的初始状态决定。三个重要的特征量—角频率（或称圆频率）(angularfrequency)在2π秒时间内完成全振动的次数0—初相(initialphase)反映初始时刻振动系统的运动状态，一般取（0，2π）或（-π，+π）22T★振动的相位(phase)0t称为振动的相位，t=0时刻的相位为初相0cos()xAt00dsin()cos()d2xvAtAtt2200dcos()cos()dvaAtAtt★速度和加速度速度和加速度与位移的变化规律相同（均为简谐振动），速度的相位超前位移π/2，加速度与位移反相。★振动曲线xtoA-AT取决于振动系统的动力学性质，称为固有角频率2=2mTkmk前述的弹簧振子例子：★决定三个重要的特征量（A，ω，0）的因素A，0决定于系统的初始条件(t=0时刻的位移和速度)0cos()xAt00cosxA0sin()vAt00sinvA2200()vAx0000arctg()arccosvxxAφ0在（0，2π）或（-π，π）内为多值函数，注意取舍！22ddsintsmmgsl22ddsintmlmgsin例1：单摆(simplependulum)在小幅振动时：222d0dtglT2OlsmgTm0cos()tlg令：例2：复摆(complexpendulum)mglM22ddtJmgl222d0dtJmgl2令m0cos()toC*l（C点为质心）mglJTπ2mgmglJx0P二、旋转矢量图示法0tA矢量绕O点逆时针旋转，旋转矢量的模为A，t=0时，旋转矢量与x轴正方向的夹角为0，旋转矢量的角速度为。矢量端点在x轴上的投影点作简谐振动！0cos()PxAt可以用旋转矢量描述简谐振动：旋转矢量的模即振幅，转动的角速度即角频率，初始时刻与x轴正方向之间的夹角即初相位；旋转矢量在x轴上时对应简谐振动的最大位移，旋转矢量垂直于x轴时对应简谐振动的平衡位置。O例题质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）质点从x=-6cm向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。解：（1）设振动表达式为根据已知条件：A=0.12m,T=2s12/sT0cos()xAt由初始条件用解析法求初相00cos()xAt00.060.12cos001cos23030dsin()dxvAttm振动表达式为0.12cos()3xt已知t=0时，质点向x轴正方向运动00sin0vA则由初始条件用旋转矢量法求初相0当t=0时,位移为6cm，且向x轴正方向运动Ox303x34（2）质点从x=-6cm向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。3223s83.0s6532231tO由质点从x=-6cm向x轴负方向运动可知此时的相位为2π/3。第一次回到平衡位置时的相位为3π/2。第一次回到平衡位置所需要的时间：例题两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1=A/2处，向x轴负方向运动时，另一个质点2在x2=0处，向x轴正方向运动。求这两质点振动的相位差。解：Ox312265)2(321质点1的振动超前质点2的振动65质点1的振动落后质点2的振动761237326或者232或者三、简谐振动的能量2mk2222k011sin()22EmvmAt振子动能222p011cos()22EkxkAt振子势能21()2kPEEEkA常数0xxkm简谐振动系统的机械能守恒。简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。ttAxcosxtE222k001111sin()d242TEkAttkAET222p001111cos()d242TEkAttkAET2222k011sin()22EmvmAt222p011cos()22EkxkAt第二节简谐振动的合成一、相同方向上同频率的简谐振动的合成声源1声源2PP点的运动就是两个同方向振动的合成xA111cos()xAt222cos()xAt0cos()xAt同方向、同频率简谐振动的合成仍是简谐振动：x1A2A12两个x方向的简谐振动的角频率都是21xxx221212212cos()AAAAA112201122sinsintancoscosAAAA★合振动的振幅与初相A0x1A2A12,2,1,0212kk21AAA21AAA★振动的相互加强与相互减弱1、若两振动同相21(21)0,1,2,kk2、若两振动反相合振幅最大，即振动加强合振幅最小，即振动减弱如果则，质点静止021AAA111cos()xAt222cos()xAt)cos(212212221AAAAA合振幅例题两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）（1）求合振动的振幅；（2）求合振动的振动表达式。两个简谐振动同方向，同频率=2π/T，反相12AAA合振动振幅：合振动初相：022A1AxT)(1tx)(2txt解)22cos(12tTAAx合振动的振动表达式：1A2AxA二、两个同方向、不同频率简谐振动的合成合成的旋转矢量的长度和转动角速度将不断改变，合成后的运动不再是简谐振动，如图所示:ty1A2A21考虑两个频率较大且非常接近、振幅相等、初相位相同的振动合成问题：121020coscosxxxAtAt21210(2cos)cos22xAtt因为频率差很小，所以上述表达式可看成振幅随时间缓慢变化的近似谐振动——拍现象。★拍(beat)、拍频(beatfrequency)★拍振动曲线x1x2xttt减弱减弱加强拍频：振动的振幅变化的频率。1212121222222121(2cos)cos22xAtt三、相互垂直简谐振动的合成22cos()yAt11cos()xAt)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx两个频率相同的简谐振动在相互垂直的两个方向上合成：yx求两者的合振动：消去t得到上式为椭圆方程，注意上式与两者的相位差有关。同频率不同相位差的合运动轨迹012124243452347两个相互垂直的简谐振动的频率成简单整数比，此时的合振动具有稳定封闭的轨迹图形：李萨如图形李萨如图形(LissajousFigure)两个频率不同的简谐振动在相互垂直的两个方向上合成：ddrxfvt22ddddxxkxmtt第三节阻尼振动受迫振动共振Oxrfkxf一、阻尼振动（dampedvibration）222002dd,202ddkxxxmmttvxt小阻尼(βω0)过阻尼(βω0)临界阻尼(β=ω0)★阻尼振动曲线1220()ecos()txtAt220220dd20dd,2xxxttkmm当物体处于临界阻尼时，达到平衡位置的时间最短。系统受周期性外力的作用：0cosFFt二、受迫振动(ForceVibration)F202ddcosddxxkxFtmttOxrfkxf0coscostxAetAtA无阻尼有阻尼共振：当策动力的频率等于特定值时，振幅A取极大值，产生共振。022020222220/4FmA第四节简谐波的产生和传播机械波：机械振动在介质中的传播电磁波：交变电磁场在空间的传播★波动★两类波的共同特征都是振动状态的传播都是能量传播都能发生反射、折射、干涉、衍射一、机械波(mechanicalwave)的产生两个条件：波源（振动）+弹性介质质点的振动方向和波动的传播方向垂直，交替出现波峰和波谷。横波(TransverseWave)质点的振动方向和波动的传播方向平行，疏密相间。简谐波(HarmonicWave)介质中各质点都作简谐振动纵波(Longitudinalwave)★机械波的传播特征波动是振动状态的传播。介质中各质点在平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。波动是相位的传播。在波的传播方向上，各质点的振动相位依次落后。波动是能量的传播。二、波长、周期、频率和波的传播速度波长：在波的传播方向上两个相邻的、相位差为2π的振动质点之间的距离。xy波的周期T：波前进一个波长的距离所需的时间。波的频率：周期的倒数1T周期和频率反映了波动在时间上的周期性。波长反映了波动在空间上的周期性。波速u：波速由介质的性质决定，而波的频率与介质的性质无关，由波源决定。波在一个时间周期T内向外传播了一个空间周期λ，因此波速为：Tu三、惠更斯（Huygens）原理波线：表示波的传播方向的直线波阵面：振动相位相同的点组成的面波前：某一时刻最前面的波阵面波线、波阵面、波前介质中波前上各点都可以当作独立的波源，发出球面子波（wavelet），在其后的任一时刻，这些子波的包络就形成新的波前。惠更斯（Huygens）原理惠更斯原理说明波的传播和波的衍射