大学物理 刚体力学

第七章刚体力学第七章刚体力学第七章刚体力学刚体——是受力时不改变形状和体积的物体.是理想模型.特点(1)是一个质点组（刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元.）(2)组内任意两点间的距离保持不变.§7.1刚体运动的描述第七章刚体力学平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.§7.1.1刚体的平动Ojririjr第七章刚体力学trtrijddddijvvijaa2222ddddtrtrij,的矢量指向质元表示质元图中jirijijijrrr为恒矢量由平动定义ijr取参考点O结论：刚体平动时,其上各点具有相同的速度、加速度及相同的轨迹.可用一个质点的运动代替刚体的运动.Ojririjr刚体平动质点运动第七章刚体力学转动：刚体运动时,其上各质元都绕同一直线作圆周运动.这种运动称转动.该直线称为转轴.若转轴不动，称定轴转动.§7.1.2刚体绕固定轴的转动OO’(1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面)做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.(2)刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过的角度都相同.因而用角量描述刚体的运动.1.定轴转动特征第七章刚体力学xOp称角位置或角坐标.规定逆时针转向为正.2.定轴转动的描述(1)角坐标刚体定轴转动的运动学方程(2)角位移为t时间内刚体所转过的角度.=(t)xOp第七章刚体力学(3)角速度tttddΔΔlim0Δ在定轴转动中,转向只可能有两个方向.取逆时针转动0，顺时针转动0.rad/s30π60π2nn每分转n转角速度xOP(t)P(t+t)+(4)角加速度tttddΔΔlim0Δ角加速度可正可负,当与同号时,转动加快,异号时减慢.第七章刚体力学2021tt）（02022t0与质点匀变速直线运动公式相对应.ttd)(dttd)(dttt00d)(ttt00d)((5)刚体定轴转动运动方程匀速转动=常量t0匀变速转动=常量第七章刚体力学刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxavvt0)(2020222100tt刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比第七章刚体力学(6)角量与线量的关系线量——质点做圆周运动的位置r、速度v、加速度a角量——描述刚体转动整体运动的rsrrva22nratrv注:r的原点必须在转轴上.弧长线速度切向加速度法向加速度，，rsOtexyrtevtanaa第七章刚体力学xz参考平面)(t)()(ttt角位移)(t角坐标00约定r沿逆时针方向转动r沿逆时针方向转动tttddlim0角速度矢量方向:右手螺旋方向参考轴§7.1.3角速度矢量和角加速度矢量第七章刚体力学角加速度tdd1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.,,a,v定轴转动的特点刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.00zz第七章刚体力学角量与线量的矢量关系式为rvrtaddt)(nra)(ddntrrtaaaOPrrvrtaddt)(nrartevtanaa第七章刚体力学飞轮30s内转过的角度radπ75)6π(2)π5(22202210srad6πsrad30π50t例1一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）,sradπ510.0t=30s时，设.飞轮做匀减速运动00时，t=0st0)(20202第七章刚体力学（2）s6t时，飞轮的角速度110sradπ4srad)66ππ5(t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小110.24πms2.5msrv该点的切向加速度和法向加速度22tsm105.0sm)6π(2.0ra转过的圈数r5.37π2π75π2N2222nsm6.31sm)π4(2.0ra第七章刚体力学例2在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？00解由题意，令，即，积分ctcttddtttc00dd得221ct当t=300s时11sradπ600minr18000所以3322srad75πsrad300π60022tc第七章刚体力学转子的角速度232srad150π21tct由角速度的定义23srad150πddtt得tttdsrad150πd0230有33srad450πt在300s内转子转过的转数43103)300(450π2ππ2N32srad)75(π2tc第七章刚体力学例3.一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速转动，设某时刻刚体上一点P的位置矢量为，则该时刻P点的速度为？[SI]k5j4i3rrωtrddv解.)k5j4i3k2(i8-j6ZXYkijkrrrsinr第七章刚体力学§7.1.3刚体的平面运动刚体的平面运动——刚体内所有的点都平行于某一平面而运动.如车轮滚动等.第七章刚体力学1.刚体的平面运动特点：(1)每一质元轨迹都是一条平面曲线，质心始终落在一个平面上.(3)刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状况都相同.(2)转轴总是保持平行，并与固定平面垂直.(4)可用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形来代表刚体.第七章刚体力学2.平面运动的方程刚体平面运动=C点平动+绕C点轴转动建立坐标系Oxyz，使平面图形在Oxyz面内,z轴与屏幕垂直.在质心平面上取质心C为基点，以基点C为原点建各坐标轴平行于Oxyz的动坐标系Cx´y´z´.jtyitxtrCCC)()()()(txyOCxy第七章刚体力学点的位矢点相对是CPr3.平面运动的刚体上任意一点的速度平面上P点相对于Oxyz系的位置矢量rrrCvvtrtrtrvCCdddddd刚体绕过基点C的角速度rvrvvCxyOCxyrCrrp第七章刚体力学实际上对于无滑滚动(纯滚动),当柱体绕中心转动,其中心轴前进的距离rycrvcracrcvrr`yC2r`微分得：rcvvxyOCrPrvcvjtyitxtrCCC)()()(rvvC无滑滚动条件:cvr第七章刚体力学CABDOvO例题解：COOCvvv0COOCvvv注意，为求车轮的角速度，可利用车轮作无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点C的速度为零，即因为轮心O点速度已知，故选O为基点。vOvCOvC=0ω其中vCO的方向已知，其大小vCO=Rω。基点法应用速度合成定理，轮缘上C点的速度可表示为RvRvOCO因此（顺时针）如图作无滑动滚动的车轮半径为R，轮心O点速度为求：图中A、B、C和D点的速度。0vrvvC第七章刚体力学CABDOvOvOvCOvC=0ω求得ω之后，应用基点法各点的速度就很容易求得如下：vOvAOvAvOvBOvBvOvDOvDRvRvOCO,2ivOAvOAvv2A点：,jivOOBvvOBvv2B点：,jivOODvvODvv2D点：其中，i，j为x，y轴的单位矢量。rvvC第七章刚体力学第七章刚体力学刚体运动形式小结1.刚体平动连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行。刚体上所有点的运动轨迹都相同,可当作质点来处理.刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的园周运动,且在相同时间内转过相同的角度.2.刚体定轴转动）特点：角位移，角速度和角加速度均相同质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动第七章刚体力学5.刚体的一般运动）刚体的一般运动可视为随刚体上某一基点A的平动和绕该点的定点转动的合成.OOO将刚体的运动看作质心的平动与相对于通过质心并垂直运动平面的轴的转动的叠加。3.平面平行运动刚体运动时,各点始终和某一平面保持一定的距离,或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动4.刚体定点转动刚体运动时，始终绕一固定点转动.第七章刚体力学刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+第七章刚体力学§7.2刚体的动量和质心运动定理§7.2.1刚体的质心在O-xyz坐标中，质点系的质心坐标为iiicmxmxiiicmymyiiicmzmz对质量连续分布的刚体,VVcmmxxddVVcmmyyddVVcmmzzdd刚体是特殊质点系，上述各式同样适用于刚体.第七章刚体力学VVcVVxxdd引入体密度VVcVVyyddVVcVVzzdd均质物体VVxxVcdVVyyVcdVVzzVcd对质量连续分布的刚体,VVcmmxxddVVcmmyyddVVcmmzzdd第七章刚体力学[例题1]求质量均匀，半径为R的半球的质心位置.[解]设半球的密度为，将半球分割成许多厚为dx的圆片，任取其一xxRxyVd)(πdπd222R833/2πd)(π3022RxxRxR33π32π3421RRVVVxxVcd由对称性得0cczyxROyzyxxd第七章刚体力学[例题2]在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为R/2的小圆板,大小圆板相切,如图所示.求余下部分的质心.xyO[解]由对称性，yc=0余下部分0cx21π41Rm2/1Rxc22π43Rm2222ππ432π410RxRRRc62Rxc2πRm设平板面密度为,大圆板小圆板第七章刚体力学§7.2.2刚体的动量和质心运动定理刚体动量cvmp质心运动定律cciamtvmFdd质心加速度刚体的总质量刚体所受的外力矢量和第七章刚体力学[例题3]一圆盘形均质飞轮质量为m=5.0kg，半径为r=0.15m,转速为n=400r/min.飞轮作匀速转动.飞轮质心距转轴d=0.001m，求飞轮作用于轴承的压力.计入飞轮质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计算由于飞轮的转动使轴承受到的压力，不考虑飞轮所受重力对该压力的影响）.rad/s9.41rad/s301416.340030πn[解]根据质心运动定理N8.8N001.09.410.522dmF