大学物理 机械振动课件

第四章机械振动§4.1简谐振动的动力学特征§4.2简谐振动的运动学§4.3简谐振动的能量§4.4简谐振动的合成*振动的频谱分析§4.5阻尼振动受迫振动共振*§4.6非线性振动简介振动是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象，称为振动。虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。本章主要讨论简谐振动和振动的合成，并简要介绍阻尼振动、受迫振动和共振现象以及非线性振动。简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。0cos()xAt——简谐振动的运动学定义x可以是位移、电流、场强、温度…§4.1简谐振动的动力学特征一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧——物体系统平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧——质量忽略不计，形变满足胡克定律物体——可看作质点简谐振动的判据kxOmxkxF受力22dtxdmkx微分方程2km令2220dxxdt单摆结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。22glTlg当时sinsinmglM二、微振动的简谐近似mgfTCO22dmglmldt摆球对C点的力矩mglM2gl令2220ddt角频率，振动的周期分别为：复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。sin当时mghCO22dmghJdt2mghJ令2220ddt22mghJTJmgh角频率，振动的周期分别为：例4.1证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）其通解为：一、简谐振动的运动学方程0cos()xAt0222xdtxd简谐振动的微分方程——简谐振动的运动学方程00cos()sin()2tt20令sin()xAt§4.2简谐振动的运动学二、描述简谐振动的特征量0cos()xAt1、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。0sin()dxvAtdt000vv,xx,t若已知初始条件00cosAx00sinvA2200()vAx——由初始条件和系统本身情况决定频率：单位时间内振动的次数。2、周期、频率、圆频率对弹簧振子12T角频率——22TkmT2mk21mk固有周期、固有频率、固有角频率周期T：物体完成一次全振动所需时间。00cos()cos()AtAtT2T2、周期、频率、圆频率对弹簧振子12T22TkmT2mk21mk固有周期、固有频率、固有角频率2T单摆glT2lg21lg复摆mghIT2Imgh21Imgh0是t=0时刻的位相——初位相3、位相和初位相——位相，决定谐振动物体的运动状态0t0cos()xAt0sin()dxvAtdt22202cos()dxaAtxdt00cosxA00sinvA000tanvx——由初始条件和系统本身情况决定位相差——两振动位相之差。12当=2k,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相当=(2k+1),k=0,±1,±2...两振动步调相反,称反相0当2超前于1或1滞后于2位相差反映了两个振动不同程度的参差错落三、简谐振动的旋转矢量表示法0t=0Axt+0t=tA0cos()xAtox旋转矢量——确定和研究振动合成很方便xv00v000x0A/202xA00v0π3例如，已知x参考圆(circleofreference)0AA0t+oxtt=0x=Acos(t+)·3则由左图给出用旋转矢量表示相位关系x1A2Ax1A2Ax1A2A同相反相200cos()cos()maAtat0cos()xAt00sin()cos()2mvAtvt谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavx...avxT/4T/4)2cos(tvvmx)2cos(tA)cos(taamx)cos(2tA由图可见：2av超前2vx超前xt+o·Amvma090090例：如图m=2×10-2kg，弹簧的静止形变为l=9.8cm，取平衡位置为坐标原点。t=0时，x0=-9.8cm,v0=0（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程并计算频率。xOmx解：平衡位置处作谐振动设振动方程为0cos()xAts/rad..lgmk10098089mgmgklkl在坐标为x处,受力为()Fmgklxkx例：如图m=2×10-2kg，弹簧的静止形变为l=9.8cm，取平衡位置为坐标原点。t=0时，x0=-9.8cm,v0=0（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程并计算频率。xOmx10/rads由初条件得000()0,varctgx2200()0.098vAxm由x0=Acos0=-0.0980cos00,取0=振动方程为：29.810cos(10)xt(2)按题意t=0时x0=0，v00x0=Acos0=0,cos0=0，0=/2,3/2v0=-Asin0,sin00,取0=3/2对同一谐振动取不同的计时起点0不同，但、A不变11.622gHzl固有频率239.810cos(10)2xt例：如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧、一半径为R、转动惯量为I的定滑轮和一质量为m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2FmoxkJR解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则0lkmgTmTmga2FmoxkJR当m有位移x时maTmgRaJRxlkT)(联立得aRJRkx20222xRJmkdtxd物体作简谐振动22RJmkkRJmT222例：已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。431.431.715.715.01)(st)(1cmsv解：设振动方程为00sin15.7vA0cos()xAt00cos0xA31.4mAv0015.71sin31.42vA0566或000,cos0a则06115.7tv1sin()62mvvAv711666或100,cos()0x则76613.14s31.4103.14mvAcm故振动方程为10cos()6xtcm以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x0sin()vAt0cos()xAt212kEmv2201sin()2kAt212pEkx2201cos()2kAt谐振动的动能和势能是时间的周期性函数§4.3简谐振动的能量动能221mvEk)t(sinkA02221势能212pEkx)t(coskA02221情况同动能maxmin,,pppEEE0minkE2114tTkktEEdtkAT2max21kAEk机械能221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒由起始能量求振幅022EEAkk212EkAxtTEoEtEk(1/2)kA2Ep实际振动系统系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开222001()(0)2ppppxxdEdEExExxdxdx微振动系统一般可以当作谐振动处理00pdExdx，有22201()(0)2pppxdEExExdx()pdExFdx220pxdExdx()kx一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动，其频率仍为22121220102cos()AAAAA112201122sinsintgcoscosAAAA1110()cos()xtAt2220()cos()xtAt合振动:1xxx0cos()xAt§4.4简谐振动的合成*振动的频谱分析22121220102cos()AAAAA112201122sinsintgcoscosAAAA1110()cos()xtAt2220()cos()xtAt用旋转矢量法讨论2200()vAx0cos()xAt1AA102002Ax2x1xx如A1=A2,则A=0,,,kk21021020两分振动相互加强21AAA,,,k)k(210121020两分振动相互减弱21AAA讨论若两分振动同相：若两分振动反相:22121220102cos()AAAAA合振动不是简谐振动式中21()2cos()2AtAt随t缓变21cos()cos()2tt随t快变合振动可看作振幅缓变的准简谐振动二、同方向不同频率简谐振动的合成分振动11cos()xAt22cos()xAt合振动11222cos()cos(2)2Atxt12xxx当2≈1时,()cos()xAtt则：1212拍——合振动忽强忽弱的现象拍频——单位时间内强弱变化的次数xtx2tx1t21拍212拍拍11222cos()cos(2)2Atxt*三、振动的频谱分析振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为:0、20、30(基频,二次谐频,三次谐频,…)按傅里叶级数展开)t(x)Tt(x01()(cossin)2nnnaxtantbntT22方波的分解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x0222sinsin3sin5235AAAAxtttxot锯齿波A03050锯齿波频谱图一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。xot阻尼振动曲线阻尼振动频谱图oA*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成质点合振动的轨迹方程：222201020102212122cos()sin()xyxyAAAA分振动110cos()xAt220cos()yAt(1)20100212()0xyAA21AyxA合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线12AA斜率质点离开平衡位置的位移讨论yx222212cos()SxyAAt22220