大学物理_光学

光学数声风笛离亭晚，我想潇湘君想秦！第九章光的干涉9.1光源发光及其相干性9.2杨氏双缝干涉9.3光程9.4薄膜干涉9.5迈克尔逊干涉仪9.1光源发光及其相干性常见光源发光在微观上来说都是原子或者分子从高能态跃迁到低能态同时辐射光子的过程。激光光源（受激辐射）LASER:LightAmplificationbyStimulatedEmissionofRadiation普通光源（自发辐射）不同原子以及同一原子不同时间独立地发射光子为了说明光的相干性，我们考虑两列同频同偏振光波的叠加：设空间中存在如下两列光波，它们在𝑃点的振动函数分别为𝑈1=𝐴1cos𝜔𝑡+𝜑1𝑃𝑈2=𝐴2cos𝜔𝑡+𝜑2𝑃根据叠加原理𝑃点的振动函数𝑈𝑃=𝑈1+𝑈2=𝐴𝑃cos𝜔𝑡−𝜑𝑃取平方可得𝐴𝑃2=𝐴12+𝐴22+2𝐴1𝐴2cos∆𝜑𝑃其中∆𝜑𝑃=𝜑2𝑃−𝜑1𝑃。相应地𝑃点的光强（𝐼~𝐴2）𝐼𝑃=𝐼1+𝐼2+2𝐼1𝐼2cos∆𝜑𝑃对于普通的光源因为其中的“不同原子以及同一原子不同时间独立地发射光子”，即cos∆𝜑𝑃=0，所以𝐼𝑃=𝐼1+𝐼2对于激光，可以近似认为所有原子“同步”地发射光子，相位差是一个恒定值，即cos∆𝜑𝑃=cos∆𝜑𝑃，所以当∆𝜑𝑃=2𝑛π(𝑛=1,2,⋯)时叠加相长（亮）𝐼𝑃=𝐼1+𝐼2+2𝐼1𝐼2当∆𝜑𝑃=2𝑛+1π时叠加相消（暗）𝐼𝑃=𝐼1+𝐼2−2𝐼1𝐼2注：对于其它途径（例如,分波面/分振幅）获得的相干光结论也成立。𝐼𝑀𝑎𝑥相干条件：振动方向相同、频率相等、相位差恒定。相干波：满足相干条件的波。光的干涉：相干光在空间发生叠加时形成或明或暗的图样的现象。𝐼𝑀𝑖𝑛对比度/反衬度𝛾=𝐼𝑀𝑎𝑥−𝐼𝑀𝑖𝑛𝐼𝑀𝑎𝑥+𝐼𝑀𝑖𝑛𝛾越接近1，干涉图样越明显；𝛾=0时观察不到干涉图样。9.2杨氏双缝干涉𝑟1𝑟2𝛿𝑆1𝑆2𝑆𝑆⊥𝜃𝑀𝑃𝑂S1在P点产生的振动𝑈1=𝐴1cos𝜔𝑡−𝑘𝑟1+𝜑1S2在P点产生的振动𝑈2=𝐴2cos𝜔𝑡−𝑘𝑟2+𝜑2且根据对称性有A1=𝐴2,𝜑1=𝜑2。两个振动在P点的相位差Δ𝜑=𝑘𝑟2−𝑟1=𝑘𝛿根据几何关系𝛿≈S1S2sin𝜃=𝑑sin𝜃当𝑘𝛿=2𝑛𝜋,𝑛=0,±1,±2,⋯,即sin𝜃=2𝑛𝜋𝑘𝑑时为亮条纹。当𝑘𝛿=2𝑛+1𝜋,即sin𝜃=2𝑛+1𝜋𝑘𝑑时为暗条纹。x条纹在屏上的位置𝑥根据图中的几何关系为𝑥=𝑀𝑂tan𝜃当𝜃非常小的时候tan𝜃≈𝑠𝑖𝑛𝜃,即𝑥=𝑀𝑂tan𝜃≈𝐷𝑠𝑖𝑛𝜃所以亮条纹的位置为𝑥𝑏=2𝑛𝜋𝐷𝑘𝑑=𝑛𝐷𝑑𝜆暗条纹的位置为𝑥𝑑=2𝑛+1𝜋𝐷𝑘𝑑=2𝑛+1𝐷2𝑑𝜆相邻两条明（暗）条纹之间的间距为∆𝒙=𝑫𝒅𝝀即当𝜃非常小的时候条纹等间距分布。当装置完全对称的时候𝐼1=𝐼2，可以计算得到条纹对比度为𝛾=1当光源的单色性不好或者两缝不完全相同时对比度会有所降低。9.3光程在前面讲述杨氏双缝干涉时我们已经注意到相位差与光通过的“路程”密切相关。理论与实验都表明光在介质中传播时，相位差不仅与“路程”有关，而且与介质的折射率也有关系，为此人们引入了“光程”的概念。真空中波长为𝜆的光传播𝐿的距离，产生的相位差为∆𝜑=2𝜋𝜆𝐿相同的光在折射率为𝑛的介质中波长为𝜆′=𝜆/𝑛所以传播𝐿的距离产生的相位差为∆𝜑′=2𝜋𝜆′L=2𝜋𝜆n𝐿为了方便起见，于是我们可以定义光在折射率为𝒏的介质中传播𝑳的距离的光程为𝒍=𝒏𝑳光程：光在介质中通过的路程按相位变化相同折合到真空中路程。相位差∆𝜑与光程𝑙的关系为∆𝜑=2𝜋𝜆𝑙光线通过透镜的等光程性𝑎𝐹𝐴𝐵𝐶𝑏𝑐𝐹𝐹′𝑆′𝑆𝑎𝑏𝑐焦点𝐹以及𝐹′处都是亮点各光线干涉相长各光线光程相等简单解释：𝐴𝑎𝐹与𝐵𝑏𝐹相比，前者传播的总距离更长，但是后者经过折射率较大的玻璃更厚，所以折算成光程二者相等。从物点到像点各光线的光程差为零。9.4薄膜干涉D.G.Stavenga,MaterialsToday,vol.1,p.109(2014).等厚干涉——劈尖考虑如图所示的平行光垂直入射到一个折射率为𝑛,顶角𝜃非常小的劈尖上的情况。现在如果观察劈尖厚度为𝑑的某一点𝐴，则其亮度同时受到绿、蓝两条光线影响。绿色光线在劈尖上表面直接反射，存在半波损失。蓝色光线在劈尖下表面反射，与绿色光线存在2𝑛𝑑的光程差，故二者的相位差为Δ𝜑=𝜋+4𝜋𝜆𝑛𝑑劈尖相同厚度的地方相位差相同，光强也相同，故称等厚干涉。𝐴令Δ𝜑=2𝑚𝜋,(𝑚=0,1,2⋯)得明条纹对应劈尖厚度为𝑑𝑏𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡=2𝑚−1𝜆4𝑛令Δ𝜑=2𝑚+1𝜋得暗条纹对应劈尖厚度为𝑑𝑑𝑎𝑟𝑘=𝑚𝜆2𝑛𝑑𝑑′𝜃∆𝑑𝐿𝑑𝑑′𝜃𝐿如图所示，相邻两条明条纹之间的间距𝐿=∆𝑑sin𝜃≈∆𝑑𝜃根据前面的结论两条明条纹之间的厚度差∆𝑑=𝜆2𝑛所以亮条纹间距𝑳=𝝀𝟐𝒏𝜽暗条纹亦然。垂直入射光在两界面反射光线的光程差（半波损失）为𝛿=2𝑑+𝜆2根据几何关系有𝑟2=𝑅2−𝑅−𝑑2≈2𝑅𝑑所以光程差可以进一步表示为𝛿=𝑟2𝑅+𝜆2𝑑𝑂𝑅𝑅−𝑑r等厚干涉——牛顿环暗条纹：𝛿=𝑟2𝑅+𝜆2=2m+1𝜆2,𝑚=0,1,2,⋯亮条纹：𝛿=𝑟2𝑅+𝜆2=𝑚𝜆,𝑚=1,2,⋯由此可得牛顿环暗条纹与亮条纹的半径分别为𝑟𝑑,𝑚=𝑚𝑅𝜆𝑟𝑏,𝑚=2𝑚−1𝑅𝜆/2利用牛顿环的暗条纹可以方便地得到凸面玻璃的曲率半径为𝑅=𝑟𝑑,𝑚2𝑚𝜆通常在接触点有附加光程差，为了消除其带来的系统误差，我们利用两个不同级次的干涉条纹来测量曲率半径𝑅=𝑟𝑑,𝑚2−𝑟𝑑,𝑛2𝑚−𝑛𝜆=𝐷𝑑,𝑚2−𝐷𝑑,𝑛24𝑚−𝑛𝜆等厚干涉——斜入射角δθ很小，这样过A点做垂线AC⊥QP，近似有（折射定律𝑛1sin𝑖1=𝑛sin𝑖）𝑙𝑄𝐴−𝑙QP≈−𝑙𝐶𝑃=−𝑛1𝐴𝑃sin𝑖1=−𝑛𝐴𝑃sin𝑖=−𝑛2ℎtan𝑖sin𝑖=−2𝑛ℎsin2𝑖/cos𝑖同时根据几何关系𝑙ABP=2𝑙𝐴𝐵≈2𝑛ℎcos𝑖最终可以计算得到𝜹𝑷=𝟐𝒏𝒉𝒄𝒐𝒔𝒊=2𝑛ℎ1−sin2𝑖=2𝑛ℎ1−𝑛12sin2𝑖1/𝑛2=2ℎ𝑛2−𝑛12sin2𝑖1由图可知上下两个表面反射光线的光程差为𝛿𝑃=𝑙𝑄𝐴𝐵𝑃−𝑙𝑄𝑃=𝑙𝑄𝐴−𝑙𝑄𝑃+𝑙𝐴𝐵𝑃考虑到劈尖本身的厚度很小，AP之间的距离很小，也即光线QA与QP之间的夹等倾干涉考虑到透镜成像时物像点等光程性，上下表面反射光的传播到屏上P点处的光程差为Δ𝑙=𝑙𝐴𝑅𝐶−𝑙𝐴𝐵作CD垂直AR，则𝑙𝐴𝐵𝑙𝐴𝐷=𝑛1𝐴𝐵𝑛𝐴𝐷=𝑛1𝐴𝐶sin𝑖1𝑛𝐴𝐶sin𝑖=1所以Δ𝑙=𝑙𝐷𝑅𝐶=𝑛𝐷𝑅+𝑅𝐶作薄膜上下表面垂线KR，再作KM、KN分别垂直AR与CR，则𝑀𝐷=𝐴𝑀=𝑁𝐶最后𝜟𝒍=𝑛𝑀𝑅+𝑅𝑁=𝟐𝒏𝒉𝒄𝒐𝒔𝒊𝑖1𝑖𝐴𝑅𝑀𝐷𝑁𝐶𝐵𝑃𝑆𝑛1𝑛𝐾ℎ𝑖1𝑖1𝑖1𝑆𝑃𝑂𝑖𝑛1𝑛ℎ干涉条纹公式：𝛥𝑙=2𝑛ℎ𝑐𝑜𝑠𝑖𝑘=2ℎ𝑛2−𝑛12sin2𝑖1,𝑘=𝑘𝜆,亮2𝑘+1𝜆2,暗条纹形状：圆环，半径𝑟𝑘=𝑓tan𝑖1,𝑘等倾干涉实验装置示意图9.4迈克尔逊干涉仪AlbertA.Michelson(1852-1931)1907NobelPrizeinPhysics单色光源21MM反射镜2M反射镜1M迈克耳孙干涉仪的结构21M,M与成角04521//GG2G补偿板分光板1G移动导轨1M反射镜2M21MM反射镜1M单色光源1G2G的像2M'2MM2M1平行等倾干涉条纹ℎ反射镜2M反射镜1M1G2G单色光源2M'M2M1不平行劈尖等厚干涉条纹光学数声风笛离亭晚，我想潇湘君想秦！第十章光的衍射10.1光的衍射现象10.2惠更斯-菲尼尔原理10.3单缝夫琅禾费衍射10.4光学仪器的分辨本领10.5光栅衍射10.1光的衍射现象SolarGloryTheSpectreofBrocken矩形孔衍射图样Fromwhich?Or泊松亮斑泊松亮斑本为泊松用来反对菲涅尔波动光学而提出，实际的实验结果却进一步证实了光的波动属性——可谓“搬起石头砸自己的脚”！10.2惠更斯-菲涅尔原理惠更斯原理：介质中任一波面上的各点，都可以看作时发射子波（次级波）的波源，其后任意时刻，这些子波的包络面（波迹）就是新的波面。惠更斯-菲涅尔原理：惠更斯原理+空间中任意一点的波的强度由各子波的相干叠加来决定。菲涅尔衍射积分公式𝑃点的复振幅𝑈𝑃=𝐾𝑈0𝑄𝐹𝜃,𝜃0𝑒𝑖𝑘𝑟𝑟𝑑ΣΣ其中𝐹𝜃,𝜃0为倾斜因子,𝑈0𝑄为𝑄点次波源的复振幅。此式子最早由菲涅尔提出，后来基尔霍夫予以数学证实。ΣdΣ𝑆𝑄𝑛𝜃0𝜃𝑃𝑟10.3单缝夫琅禾费衍射𝑆𝐵𝑃𝜃𝜃𝑂𝑓半波带法𝐶𝑖𝐶𝑖+1𝐶𝑖+2半波带-𝑖半波带-𝑖+1对于半波带-𝑖中的任意一条光线，在半波带-𝑖+1中总存在一条光线与之光程差为𝜆/2,也即相位差为𝜋。这样两条光线彼此干涉相消。所以总体来说，两个相邻半波带中的光线干涉相消。偶数个半波带干涉相消暗条纹中心奇数个半波带亮条纹中心（近似）𝐴𝐵𝐶0𝐶1𝐶2𝐶3𝐶𝑖𝐶𝑖+1=𝜆2对于夫琅和费衍射，𝐴𝐵之间半波带的个数由𝐵𝐶的长度确定。𝐵𝐶的长度由狭缝宽度𝑑=𝐴𝐵以及衍射角𝜃共同决定。所以半波带的个数𝑁=𝐵𝐶𝜆/2=2𝑑sin𝜃𝜆当𝜃=0时，各衍射光线的光程差为零，通过透镜后聚焦后形成中央明条纹。中央明条纹宽度由𝑚=±1的暗条纹来确定，半角宽𝜃𝑤≈sin𝜃𝑤=𝜆/𝑑线宽度∆𝑥≈2𝑓sin𝜃𝑤=2𝑓𝜆/𝑑令𝑁=2𝑚(𝑚=±1,±2,⋯)可得暗条纹对应的衍射角𝜃满足关系𝒅𝐬𝐢𝐧𝜽=𝒎𝝀令𝑁=2𝑚+1可得明条纹对应衍射角𝜃近似满足关系𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃=2𝑚+1𝜆/2𝑥𝐼夫琅禾费单缝衍射的光强公式利用振幅矢量法或者菲涅尔衍射积分公式可以求得夫琅禾费单缝衍射的光强公式为：𝐼=𝐼0sin𝛽𝛽2其中𝛽=𝜋𝑑sin𝜃/𝜆。再根据tan𝜃=𝑥/𝑓≈sin𝜃≈𝜃最终可以得出𝑃点的光强𝐼𝑃=𝐼0sin𝜋𝑑𝑥/𝑓𝜆𝜋𝑑𝑥/𝑓𝜆2CanonEOS60D华为Mate910.4光学仪器的分辨本领按照几何光学的原理很远的地方的两个点𝑆1和𝑆2的光线经过相机镜头后会在底片（或CCD）上成像为𝑆′1和𝑆′2两个点。但是光的波动理论指出由于镜头的限制，光线会发生衍射，实际在底片上形成的是两个“亮斑”。𝑆1𝑆2𝐴𝐵𝑆′1𝑆′2𝜃𝜃当𝜃减小的时候，𝑆′1和𝑆′2处的两个亮斑会彼此靠近，当靠近到一定程度后就无法将二者分辨开来了——也即由于镜头直径𝐷的限制相机存在一个极限的分辨率。根据“瑞利判据”，该角极限分辨率为𝛿=1.22𝜆𝐷瑞利判据当一个亮斑的中心刚好落在另一个亮斑的边缘（第一级暗条纹）时两个像刚好可以分辨。圆孔衍射直径为𝐷的圆孔的夫琅