八年级数学三角形中位线培优专题训练

八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1.三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2.中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3.运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4.中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5.有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。二、例题例1.已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN证明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，根据三角形中位线性质PE＝21AC＝NF，PF＝21AB＝MEPE∥AC，PF∥AB∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC即∠PEM＝∠PFN∴△PEM≌△PFN∴PM＝PN例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点。求MN的长。分析：N是BC的中点，若M是另一边中点，则可运用中位线的性质求MN的长，根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即可。辅助线是：延长CM交AB于E（证明略例3.如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点求证：MN∥AD证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PNABCMNPEF71012ABCDMNMP∥AB，MP＝21AB，NP∥AC，NP＝21AC∵BE＝CF，∴MP＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠MPN＋∠BAC＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180，∠2=∠3∴NP∥AC∴MN∥AD证明二：连结并延长EM到G，使MG＝ME连结CG，FG则MN∥FG，△MCG≌△MBE∴CG＝BE＝CF∠B＝∠BCG∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180∠CAD＝21（180－∠FCG）∠CFG＝21（180－∠FCG）=∠CAD∴MN∥AD例4.已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB的延长线于G求证：FD＝41CG证明要点是：延长GE交AC于H，可证E是GH的中点过点E作EM∥GC交HC于M，则M是HC的中点，EM∥GC，EM＝21GC由矩形EFDO可得FD＝EO＝21EM＝41GC三、练习1.如图11，M、P分别为△ABC的AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N，已知PN=1，则PB的长为()A.2B.3C.4D.52.如图12，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，则MD的长为()A.10B.8C.6D.53.如图13，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，P为不同于B、E、C的BC上的任意一点，△DPH为等边三角形.连接FH，则EP与FH的大小关系是()A.EPFHB.EP=FHC.EPFHD.不确定4.如图14，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，交AB于E,若AB=5，则DE的长为.4321ABCDEFMNPMjABCGDEFNO21ABCGDEFHM5.如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.6.如图25，P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7.如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8.如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9.如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.顶级超强练1.如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BEBD.2.如图21，在△ABC中，ABAC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3.如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4.如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5.如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6.如图25，P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21图22图23图24图257.如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8.如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9.已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26图27