6.事件的独立性与随机变量的独立性 作者：阿曼古.卡地尔 指导老师：买买提明

编号学士学位论文事件的独立性与随机变量的独立性学生姓名：阿曼古·卡地尔学号：20060101011系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006-3班指导教师：买买提依明·热扎克完成日期：2011年5月10日学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要事件的独立性和随机变量的独立性是概率论中的最重要的概念之一.本论文主要讨论事件的独立性和独立事件的性质,随机变量的独立性,研究两种最常见的随机变量类型---离散型随机变量和连续型随机变量的独立性.关键词：独立事件；概率；随机变量学士学位论文BACHELOR’STHESIS2目录中文摘要....................................................................................................................1引言............................................................................................................................21.事件的独立性......................................................................................................21.1两个事件的独立性.............................................21.2三个事件的独立性.............................................61.3多个事件的独立性.............................................82.随机变量的独立性..............................................................................................112.1离散型随机变量的独立性......................................132.2连续型随机变量的独立性......................................14总结..........................................................................................................................19参考文献..................................................................................................................20致谢..........................................................................................................................21学士学位论文BACHELOR’STHESIS2引言对于事件的独立性，即有直观的描述，又有严格的数学定义,它们在不同的场合各有用处,独立性是概率论中的特有的概念.它的引进大大推动了概率的发展，概率论中许多重要的结论是独立性的假定下获得的.随机变量的独立性事实上是以事件的独立性为基础的概念.1.事件的独立性在已知事件A发生的条件下，B发生的可能性为条件概率()(|)()PABPBAPA并且由此可以得到一般的概率乘法公式()()(|)PABPAPBA现在可以提出一个问题，如果事件B发生与否不受事件A是否发生的影响，那么会出现什么样的情况呢？为此，需要把“事件B发生与否不受事件A是否发生的影响”这句话表达成数学的语言.事实上，事件B发生与否不受事件A的影响，也就是意味着有()(|)PBPBA这时乘法公式就有了更自然的形式()()()PABPAPB由此启示我们引入下述定义.1.1两个事件的独立性定义1对任意的两个事件A，B，若()()()PABPAPB成立，则称事件A，B是相互独立的，简称为独立的.例1：分别掷两枚均匀的硬币，令学士学位论文BACHELOR’STHESIS3硬币甲出现正面硬币乙出现正面验证事件A,B是相互独立的证明：这是样本空间(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）共含有4个基本事件，它们是等可能的，各有概率1/4，而（正，正），（正，反）（正，正），（反，正）（正，正）由此知1()()2这是有1()()()4成立，所以A,B是相互独立的例2：一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,令A{一个家庭中既有男孩又有女孩}B{一个家庭中最多有一个女孩}对下述两种情形,讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩;解：(1)有两个小孩的家庭,这是样本空间为{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性知概率各为14,这时A{(男,女),(女,男)}学士学位论文BACHELOR’STHESIS4B{(男,男),(男,女),(女,男)}AB{(男,女),(女,男)}于是1()2PA,3()4PB,1()2PAB由此可知()()()PABPAPB所以事件A,B不相互独立.(2)有三个小孩的家庭,样本空间为{(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}由等可能性知这8个基本事件的概率均为18,这时A中含有6基本事件,B中含有4基本事件,AB中含有3基本事件,于是63()84PA,41()82pB,3()8pAB显然有3()8pAB()()PAPB成立,从而事件A与B是相互独立的.定理1若果事件A与B相互独立，则A与__B，__A与B，__A与__B也相互立.证明：事件A与B相互独立()()()PABPAPB学士学位论文BACHELOR’STHESIS5____(1)()()()()()()()()()1()()()PABPABPAABAABPAPABPAPAPBPAPBPAPB因此A与__B相互独立.(2)()()1()PABPABPAB1()()()1()()()()[1()][1()]()()PAPBPABPAPBPAPBPAPBPAPB(3)()()()PABPBAPBABBAB()()PBPAB()()()()[1()]()()()()PBPBPAPBPAPBPAPAPB因此A与B，A与B也是相互独立.命题不可能事件与任意A事件是相互独立.证明设是不可能事件()()()0()()PAPPAPAPA与是相互独立.命题必然事件与任意A事件是相互独立.证明设是必然事件学士学位论文BACHELOR’STHESIS6()()()1()()PAPPAPAPA与是相互独立.例3：甲，乙两个人分别猜一个谜，猜对的概率分别是0.7，0.6，求下列事件的概率.（1）“两个都猜对”（2）“两个人都猜错”（3）“恰有一个人猜对”（4）“至少有一个人猜对”解：设A“甲猜对”，B“乙猜对”两个人分别猜谜A与B是相互独立()0.7PA，()0.6PB()0.3PA，()0.4PB(1)()()()0.70.60.42(2)()()()0.30.40.12PPABPAPBPPABPAPB(3)()()()PPABABPABPAB()()()()0.70.40.30.60.46PAPBPAPB(4)()()()()()0.70.60.70.60.88PPABPAPBPAPB或()1()1()10.120.88PABPABPAB1.2三个事件的独立性定义2设三事件,,ABC，如果学士学位论文BACHELOR’STHESIS7()()()()()()()()()()()()()PABPAPBPACPAPCPBCPBPCPABCPAPBPC则称,,ABC相互独立.只满足前3式，称,,ABC为两两独立.,,ABC相互独立，则一定两两独立；但是两两独立，则三个事件不一定相互独立.例4：设样本空间1234,,,含有等可能的四个基本事件，又121314,;,;,ABC解：显然有12PAPBPC由此有PABPAB;CBC;ACP;11;48ABCABCPABCPABCA,B,CACABCABCPABCP这说明，，两两独立，但是故不相互独立。例5：设4张同样的卡片，1张涂上红色，1张涂上绿色，1张涂上红，黄，绿三种颜色，从这4张卡片，用A,B,C分别表示事件“取出的卡片上涂有红色”，“取出的卡片上涂有黄色”，“取出的卡片上涂有绿色”问：A,B,C是否独立？解：据题设有1()()()2ABC1()()()()4ABBCACABC学士学位论文BACHELOR’STHESIS8从而()()()ABAB；()()()BCBC；()()()ACAC；所以三个事件A,B,C是两两相互独立的，然而ABCABC故三个事件A,B,C不是相互独立的.下面讨论对多个事件的独立性.1.3多个事件的独立性定义3设有n个事件12,,,nAAA，(2)n，如果对任意正整数(2),kkn1212,,(1)kkiiiiiin均都有1212(,,,)()()()kkiiiiiiPAAAPAPAPA则称事件12,,,nAAA相互独立.（1）如果n个事件12,,,nAAA相互独立，则对其中的任意(1)mmn个.事件改为相应的对立事件，形成的n个事件仍然相互独立.（2）若12,,,nAAA相互独立，则它们其中任意(1)mmn个事件也是一定独立；特别若12,,,nAAA独立，则它们中任意两个事件都相互独立.反之也未必成立，n个事件12,,,nAAA两两独立不一定它们相互独立.（3）如果n个事件12,,,nAAA相互独立，则有__111()1()1(1())nnniiiiiiPAPAPA学士学位论文BACHELOR’STHESIS9证明：__()1()PAPA_______11()1()nniiiiPAPA11()niiPA_________121()()()nPAPAPA111()niiPA.例6：3人独立破译密码，他们单独能破译的概率分别为111,,534，试求此密码能被破译出的概率：解：设iA第i个人能破译密码1,2,3i=该密码被破译.由于123BAAA故()B12312311AAAAAA11131(1)(1)(1)5345例7：甲,乙,丙三人在不同位置同时向某一个目标进行一次射击,假设他们每人的命中概率分别为0.6,0.7,0.8,计算下列事件的概率:（1）恰好有一个人击中目标；（2）至少有一个人击中目标；（3）恰好有两个人击中目标；解:设事件A,B,C分别表示甲,乙,丙击中目标,事件iA为“有人击中目标”i1，2，3，依题意0A，1A，2A，3A构成一个完备事件，且