《函数的概念及表示(习题课)》

函数的概念及表示法（习题课）【评析】函数的图象是函数的直观描述，结合学过的基本初等函数，可作出一般的函数图象.【分析】函数图象表示的是表示函数关系的两个变量之间的关系，故可由函数定义判定.1.函数f(x)=x+的图象是（）xx【解析】f(x)=x+=，结合图象知选C.xx0101xxxxC返回考点一图象法返回作出下列函数的图象.(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=2x2-4x-3(0≤x3).(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上(∵x∈Z,从而y∈Z),这些点称为整点(如图甲).(2)∵0≤x3,∴这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x3之间的一段曲线(如图乙).考点二求函数解析式（1）如果，则f(x)=;（2）如果,则f(x+1)=;（3）如果f［f(x)］=2x-1，则一次函数f(x)=;（4）如果函数f(x)满足方程af(x)+=ax,x∈R,且x≠0,a为常数，且a≠±1,则f(x)=.21)1(xxxf2)1()1(xxxxf)1(xf【分析】求f(x)的关键就在于弄清相对于“x”而言，“f”是一种怎样的对应关系.返回【解析】（1）∵∴.（2）∵∴f(x)=x2+4,∴f(x+1)=(x+1)2+4.（3）∵f(x)为一次函数，设f(x)=kx+b(k≠0),∴f［f(x)］=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=2x-1.比较系数得或.1)1(11)1(22xxxxxf1)(2xxxf4)1(4)12(12)1()1(222222xxxxxxxxxxf122212122bkbkbkbk或212)(xxf212)(xxf返回（4）∵,用替换上式中的x得∴由可得axxfxaf)1()(xaxfxaf)()1(xaxfxafaxxfxaf)()1()1()()1()1()1()(22axaaxaxfx1【评析】①求f(x)解析式的方法比较多，如上述例子中就分别用了换元法、配方法、待定系数法、解方程组的方法，其他方法请试用.②换元法求f(x)是常用的方法，但要特别注意正确确定中间变量的取值范围，否则就不能正确确定f(x)的定义域.③（4）题的解法基于这样一种认识：函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式.在已知条件下，x满足已知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样就得到两个关于f(x)与的方程，因而能解出f(x).返回（1）已知f()=x+2,求f(x)；（2）已知求f(x);（3）已知函数f(x)满足，求f(x)的表达式.1xxxxxxxf11)1(222)1()(3xxfxf（1）解法一：解法二：令t=+1,则x=(t-1)2(t≥1)，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).1)1(xxf(x)1,1x11)x(1)xf(11)x(11x2)x(x2x2222x返回解法二：设x+=t，则t≠1且x=,∴f(t)=1+(t-1)2+(t-1)=t2-t+1(t≠1).∴f(x)=x2-x+1(x≠1).（3）∵,∴代替x得-f(x)=,联立两式消去得1x1x)x1x(x1)x1x(x1x2x)x1x(x1x1x)x1xf(2222221)1(xxxf(x)1x1x2x111t2)1()(3xxfxfx1)1(3xf21x)1(xf)0)(13(21)(22xxxxf（2）解法一：返回考点三由函数图象求函数解析式已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图所示，求f(x)的解析式.【分析】由图象特点先确定函数类型，再求解析式.【评析】熟练掌握学过的函数图象，有利于这类问题的解决.【解析】当-1≤x≤0时，设y=ax+b,∵过点(-1,0)和(0,1),∴同样，当0x≤2时，有∴1110babba021ba2021011)(xxxxxf返回函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式为（）A.f(x)=(x-a)2(b-x)B.f(x)=(x-a)2(x+b)C.f(x)=-(x-a)2(x+b)D.f(x)=(x-a)2(x-b)（由图象知,当x=b时,f(x)=0,故排除B,C；又当xb时,f(x)0.故排除D.故应选A.）A返回考点四函数的应用问题用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并写出其定义域.【分析】要表示y,需先用x表示出矩形的另一边长.【解析】∵AB=2x,∴弧长CD=πx,AD=.∴y=∴函数关系式为,其定义域为.22xxl2002202)22(222222lxxxlxlxxxxxlx解得由lxxy2)22()2,0(l【评析】由实际问题求函数解析式,先进行分析,找出所需的中间量,如本题中的AD.同时要十分重视函数的定义域.返回考点五分段函数的求值问题【分析】求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关系来求函数值.已知求f{f［f(3)］}2422221)(2xxxxxxxf返回【评析】解决此类问题应自内向外依次求值.【解析】∵3∈［2,+∞),∴f(3)=32-4×3=-3.∵-3∈(-∞,-2］,∴f［f(3)］=f(-3)=×(-3)=.∵∈(-2,2),∴f{f［f(3)］}=f()=π.21232323返回已知函数（1）求（2）若f(a)=3,求a的值；（3）求f(x)的定义域与值域.2x2x2x12x1x2xf(x)2)47f(ff返回（1）（2）∵f(a)=3,∴当a≤-1时,a+2=3,∴a=1-1（舍去），当-1a2时，2a=3,∴a=∈(-1,2),当a≥2时，a2=3,∴a=≥2,综上知,当f(a)=3时，a=或a=.（3）f(x)的定义域为(-∞,-1］∪(-1,2)∪［2,+∞)=R.当x≤-1时,f(x)∈(-∞,1］;当-1x2时,f(x)∈(-2,4);当x≥2时，f(x)∈［2,+∞).∴(-∞,1］∪(-2,4)∪［2,+∞)=R,f(x)的值域为R.1)21()47(21412)41()47(41247)47(ffffffff23216236返回考点六分段函数的解析式求解如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2,BC=1,∠BAD=45°,直线MN⊥AD交AD于M,交折线ABCD于N,记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域和值域.【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键,根据题意,此题应对N分别在AB，BC，CD三段上分三种情况写出函数的解析式.返回【解析】过B，C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，则AH=，AG=，当M位于H左侧时，AM=x，MN=x.∴y=S△AMN=x20≤x＜.当M位于H，G之间时,y=AH·HB+HM·MN=××＋（x-）×=x-≤x＜.21232121212123当M位于G，D之间时,y=S梯形ABCD-S△MDN=××(2+1)-(2-x)(2-x)=-x2+2x-≤x≤2.232121212121218121212145返回【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集,值域也是y在各部分值的取值范围的并集,因此,函数的解析式、定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.∴所求函数的关系式为∴函数的定义域为［0,2］,值域为[0,]2x23452xx2123x2181x2121x0x21y2243返回考点七求具体函数的定义域【分析】要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组.求函数的定义域：【解析】x≥0,x≥0，≥0,∴0≤x≤1/7.∴函数的定义域为x{|0≤x≤1/7}.7x1令x≤1/7,即返回xxy712【评析】求函数的定义域主要是解不等式（组）或方程来获得.如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数式有意义的集合.（1）若f(x)为整式，则定义域为R.（2）若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的x的集合.（3）若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方式非负的x的集合.返回求下列函数的定义域:232x53x1(2)2;x41x(1)y(1)要使函数有意义,必须∴,∴1≤x≤4.故函数的定义域为{x|1≤x≤4}.(2)要使函数有意义,必须.解得故函数的定义域为{x|}.0x40,1-x4x1x0x50-x223返回355xx且-355xx且-考点八求抽象函数的定义域【分析】正确理解函数定义域的概念，理解函数f(x)定义域是x的取值范围.（1）已知函数f(x)的定义域是［0,4］，求函数f(x2)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是［-1,3］，求函数f(x)的定义域;（3）已知函数f(x2-2)的定义域是［1,+∞)，求函数的定义域.)2(xf返回【评析】（1）已知f(x)的定义域，求f［g(x)］的定义域，一般设u=g(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通过解不等式可求；（2）已知f［g(x)］的定义域为D，求f(x)的定义域，就是求g(x)在D上的值域.【解析】（1）∵f(x)的定义域为［0,4］,∴0≤x2≤4,∴x∈［-2,0］∪［0,2］.∴f(x2)的定义域为［-2,2］.（2）∵f(2x+1)的定义域为［-1,3］,∴-1≤x≤3，∴-1≤2x+1≤7.∴f(x)的定义域为［-1,7］.（3）∵f(x2-2)的定义域为［1,+∞),∴x≥1,∴x2-2≥-1.∴x2≥-1,即x≥-2.∴的定义域为［-2,+∞).)2(xf返回(1)∵f(x)的定义域为［1,4］，∴使f(x+2)有意义的条件是1≤x+2≤4，即-1≤x≤2.故f(x+2)的定义域为［-1，2］.(2)∵的定义域为［0,3］,∴1≤x+1≤4,∴1≤≤2.∴f(x)的定义域为［1,2］.)1xf(1x(1)若函数f(x)的定义域为［1,4］，求f(x+2)的定义域;(2)若f的定义域为［0,3］，求f(x)的定义域.)1x(返回考点九求函数的值域【分析】根据各个式子不同的结构特点,选择不同的方法.求下列函数的值域:(1)y=x2-4x+6,x∈［1,5);(2)y=;(3)y=;(4)y=;(5)y=.24x15x1x2x34xx2232xx74x2x221x2x【解析】(1)配方得y=(x-2)2+2.∵x∈［1,5),由图可知函数的值域为{y|2≤y11}.返回45yRy(2)借助反比例函数的特征求解.∴函数的值域为(3)又∵当x=1时,原式.∴函数的值域为2)2(4x74524x4142)(4x4524x41012)(4x4524x15xy45y02)2(4x7211)2(2x72112x271)(2x2112x3x1)(x12x3x1)1)(2x(x3)1)(x(x1x2x34xxy2232y21yRy且3211231y返回(5)函数关系式中有根