第5章第三节参数估计

参数估计的一般问题一、估计量与估计值二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准•估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等例:样本均值就是总体均值的一个估计量•总体参数用表示，估计量用表示•估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是θ的估计值ˆ用样本对总体的未知参数进行估计的方法常见的有两种:点估计（pointestimation）区间估计（intervalestimation）用某一样本统计量的值来估计相应总体参数的值叫总体参数的点估计。以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的区间估计。用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计优点：简单、具体明确缺点：点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等例如，对一批某种型号的电子元件10000只进行耐用时间检查，随机抽取100只，测试的平均耐用时间为1055小时，合格率为91%。我们推断说10000只电子元件的平均耐用时间为1055小时，全部电子元件的合格率也是91%。为了考察师大男生的身高状况，随机抽测50人得到cm5S,cm170x试估计师大男生的平均身高和标准差。解：师大男生平均身高的估计值是170cm，但其真正的平均身高是否就是170cm?未必就是，这里面存在误差。那么这种误差是如何处理呢？点估计（例题分析）点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大。区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷•在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到。根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班平均分数在75～85之间，置信水平是95%•优点：考虑了估计量的分布，能说明估计结果的可靠程度样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xxxzx2譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的估计量为1000条。若我们能给出一个区间（950，1050），在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中，这样对鱼数的估计就有把握多了。实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条。问题就在于：这个1000的估计值可能在区间（950，1050）内，也可能不在1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平2.表示为(1-◦为是总体参数未在区间内的比率3.常用的置信水平值有99%,95%,90%◦相应的为0.01，0.05，0.10这个概率不是用来描述某个特定的区间包含总体参数真值的可能性，而是指在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了总体参数的真值1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值◦我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个总体参数的真值是固定的、未知的，而用不同样本构造的区间是不固定的，因此，置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而不同也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信度或置信水平，置信水平的大小是根据实际需要选定的。习惯上把置信水平记作1，这里是一个很小的正数.置信区间（1）区间估计简单地说就是用一个区间去估计未知参数，把未知参数估计在某两个界限之间。（2）置信区间按照预先给定的概率（1-α）确定的包含未知总体参数的可能范围。它是以上下置信限（L1,L2）为界。（3）置信概率又称置信水平或置信度，指在区间估计中，预先选定（规定）的概率。用1-α表示。常取95%或99%。（4）显著性水平在使用置信区间作估计时，被估计的参数不在该区间内的概率。用α表示。一般α取值要求较小。小结置信区间表达了区间估计的精确性。置信水平（1-α）表达了区间估计的可靠性。它是区间估计的可靠概率。显著性水平α表达了区间估计的不可靠的概率。要点无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P()BA无偏有偏ˆˆ抽样分布中，样本均值、比率、方差分别是总体均值、比率、方差的无偏估计量有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布1ˆ2ˆP()ˆˆ无偏估计量还必须与总体参数的离散程度比较小一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P()ˆˆ一个总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比率方差2xp2s1.假定条件◦总体服从正态分布,且方差(２)已知◦如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量z3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1,0(~Nnxz)(22未知或nszxnzx此条件下小样本总体也适用【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g36.105x【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁5.39x77.7s某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以95％的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总体方差为36分钟）。解：已知x＝26,=6，n=100,1-=0.95，Ｚ/2=1.96176.27,824.24100696.126,100696.126,22nZxnZx我们可以95％的概率认为平均每天参加锻炼的时间在24.824～27.176分钟之间某厂生产的零件长度X服从N(,0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下(单位：毫米)：14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求：µ的置信系数为0.95的区间估计。.11.15,79.14,22znXznX解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2=0.22.所求置信区间为,95.14X通过计算，得1.假定条件◦总体服从正态分布,且方差(２)未知◦小样本(n30)2.使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1(~ntnsxtnstx2注意自由度t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为2.1503,8.14762.1314901677.24131.214902nstx该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时1490x77.24s从一个正态总体中抽取一个随机样本，n=25，其均值x=50，标准差s=8。建立总体均值的95%的置信区间。解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。3.53,69.462580639.250,2580639.250,1212nstxnstxnn我们可以95％的概率认为总体均值在46.69～53.30之间为估计一物体的重量μ，将其称量10次,得到重量的测量值(单位:千克)如下:10.l,10.0,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.设它们服从正态分布N(,2)。求的置信系数为0.95的置信区间。解:n=10,=0.05,t9(0.025)=2.2622,,2415.0,0583.0,05.102SSX经计算，得的置信区间。的置信系数为为，，0.9510.229.872.2622100.241510.052.2622100.241510.05)2/(),2/(11nntnSXtnSX总体均值的区间估计(练习)1.假定条件◦总体服从二项分布，样本量足够大◦可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量z)1,0(~)1(Nnpz3.总体比率在1-置信水平下的置信区间为)()-1()1(22未知时或nppzpnzp参看书本【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比率的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96%35.74%,65.55%35.9%65100%)651%(6596.1%65)1(2nppzp该城市下岗职工中女性比率的置信区间为55.65%~74.35%【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。在对其进行访问时，有140人说他们离开该企业是