圆幂定理

圆幂定理我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。·OPAB切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠1=∠2从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理APO。B几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。12•相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。POCDABPA·PB=PC·PD•切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。PT2=PA·PBAOPBT•如图，CD是弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P。求证：PC2＝PA·PBACDBPO•相交弦定理推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。PC2=PA·PB•如图，PAB和PCD是⊙O的两条割线。求证：PA·PB＝PC·PD•切割线定理推论（割线定理）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。PA·PB＝PC·PDAOPBCD•如图，在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C。求证：PC2＝PA·PBDCPOAB•如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E。AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。DOACBE•如图，C为AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于H、K。求证：AH·AK=2AC2。AEDBHKC•如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q、M，交AB的延长线于N。求证：PN2＝NM·NQBAMO'OPQN学会用半径加减或加减半径•如图，已知PAB是⊙O的割线，PO＝14cm，PA＝4cm，AB＝16cm。求⊙O的半径。CAOPBCABDPO运动观点看本质•切线长定理•相交弦定理•相交弦定理推论•切割线定理•割线定理本质一样圆幂定理•PABCD相交弦定理割线定理切割线定理切线长定理PA•PB=PC•PDPA•PB=PC•PDPA²=PC•PDPA=PC几个定理得统一统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点A、B、C、D，PA•PB=PC•PD。ACOPDB(1)经过⊙O内或外一点P作两条直线交⊙O于A,B,C,D四点,得到了如图所示的六种不同情况.在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在数量上满足的关系式可用同一个式子表示.请先写出这个式子，然后只就图②给予证明；POBACD(P)OBACDPOBACDACOPD(B)ACOP(D)(B)POBACD222222PAPBrOP(P)PAPBOPr(P)PAPBOPr=0(P)＝－在圆内＝－在圆外＝－在圆上圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值=d（等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）22OP.r22OPr定值称做点P对圆O的幂已知：P是⊙O的直径CB的延长线上的一点，PA和⊙O相切于A，若PA＝15，PB＝5。（1）求tan∠ABC的值；（2）弦AD使∠BAD＝∠P，求AD的长。BOCPAD3;410圆幂定理求AE·ED的值即等于r2-OE2E连接CD正相似，可得AE与ED的比如图已知：点C是⊙O外一点，过C作⊙O的切线CB和CD，切点分别为B、D，连BO并延长交⊙O于点E，交CD的延长线于A，若AD＝m·AE，且，求m的值。312Ctan＝EOBACD3连接OD如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，且AD延长线交⊙O于E，又求证：（1）PA=PD；。＝EADEBE2。＝）（DEAD2BD22BEDOPCA证明：（1）连结AB∵PA切⊙O于A,∴∠PAB＝∠AEB∴PA＝PD（2）由切割线定理,由相交弦定理，BD·DC＝AD·DEBEDOPCA又PA＝PD，PC＝2PD已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的外角平分线交BC的延长线于D交△ABC的外接圆O于E，DF切⊙O于F，求证：。－＝22DADFACABODECABF连接BE，证明三角形ABE与三角形ACD相似