14选修4-4曲线的参数方程

参数方程第二讲..,,,,,,,.求曲线参数方程的问题下面我们就来研究曲线的方程出即参数可以帮助我们得要适合的条件所坐标那么就可以方便地得出桥梁为联系它们的但如果利用某个参数作易的关系并不容接确定曲线上点的坐标直在求某些曲线方程时曲线方程的方法握了一些求去的学习中我们已经掌在过0yxfyxyx曲线的参数方程一参数方程的概念.1?),(./,如何确定投放时机呢飞行员应计空气阴力不落于灾区指定地面投放的救援物资准确为使作水平直线飞行的速度高处以救援飞机离地面一架如图探究smm1005001212图.放物资过程动画模拟投A500100m/svyxOM22图.,,.,AyxA轴经过点线地平面与这个平面的交轴为其中直角坐标系建立于地平面的平面上且垂直直线飞行航线在经过将物资投出机舱设飞机在点如图22.,,.,,,,关系式并不容易所要满足的所以建立种不同的运动得到的是由两与高度由水平位移物资距地面的高度表示表示物资的水平位移则置为点时物资的位在时刻刻记物资投出机舱时为时yxyxyxyxMt0A500100m/svyxOM22图.换个角度看问题.;/:,,动的反方向作自由落体运沿度作匀速直线运动的速方向以沿种运动的合成它的运动是下列两舱后物资投出机由物理知识OysmOx100即离地面的高度它在水平方向的位移量在时刻物资出舱后,,,,221500100gtytxt221500100tgytx①./.289smgg是重力加速度A500100m/svyxOM22图.,,,,,mmmymxst3246003246006高度约为即物资水平位移量为时当比如,,,02150002gty即应有救援物资落地时.,,,.,,,的位置就惟一确定了点确定时当是说就也值的惟一确定可以由值一个给定的取值范围内在yxMtyxtt①.,.,.mxtst101010101010得到代入把解得①.,,地点可以使其准确落在指定投放物资时平距离约为飞行员在离救援点的水所以m1010.,,机还可以确定物资投放时位置一个时刻的可以确定物资投放后每由由上所述①的函数都是某个变数一点的坐标如果曲线上任意在平面直角坐标系中一般地tyx,,,,,tgytfx②.,,,意义的变数也可以是没有明显实际义或几何意义的变数可以是一个物理意的桥梁参数是联系变数yx由方程组的每一个允许值并且对,t.,.,,,,,,系的方程叫做直接给出点的坐标间关而言数方程相对参简称叫做的变数联系变数就叫做这条曲线的程那么方都在这条曲线上所确定的点tyxyxM参数方程参数参变数通方程②②普数方程是已知曲线的参例1.,1232tytx.为参数t.,,,置关系的位与曲线判断点CMM4510121.,,的值求上线在曲已知点aCaM623解得代入方程组的坐标把点解,,1011M.,上在曲线所以CMt10所以上在曲线因为点,,CaM623.,12362tat.,,992aat故解得.,上不在曲线故点这个方程组无解CM3,,124352tt得方程组代入的坐标把点,,452M圆的参数方程2?,.,.中点的位置呢怎样刻画运动那么图速圆周运动物体中各个点都作匀定轴作匀速转动时当物体绕常见的圆周运动是生产生活中3232图.,,.,,.,,)(,,为参数因此可以取惟一确定的位置由时刻点显然建立直角坐标系轴所在的直线为为原点以圆心转动的角速度为绕点点动上作匀速圆周运按逆时针方向在圆出发置时的位从初始位置点的半径是设圆如图ttMxOMOOMOtMMrO00042.,,,,tyxMt那么坐标是转过的角度是点如果在时刻rMOxy0M42图.,,,,tyxMt那么坐标是转过的角度是点如果在时刻.,,,,tyxMt那么坐标是转过的角度是点如果在时刻有那么由三角函数定义设,,||rOM,sin,cosrytrxt即为参数t.sin,costrytrx..,时刻质点作匀速圆周运动的确的物理意义有明其中的圆的参数方程半径为这是圆心在原点trO于是有为参数也可以取考虑到,,t.为参数.sin,cosryrx.,.,转过的角度置时的位逆时针旋转到绕点的几何意义是数其中参的圆的参数方程半径为这也是圆心在原点00OMOMOOMrO.,,.,.,,,.,值范围要注明参数及参数的取数方程时在建立曲线的参另外相同的却可以是们表示的曲线它形式不同的参数方程形式数方程也可以有不同的因此得到的参参数可以选取不同的变数为一条曲线同一般地圆有不同的参数方程由于选取的参数不同.,.,,,,,的轨迹的参数方程求点匀速圆周运动时作绕当点的中点是轴上的定点是是圆上的动点径为的半圆如图例MOPPQMxQPO062522的参数方程是则圆为参数取分析OxOP,.为参数.sin,cosryrx.,.,,,,,为参数是合适的选于是定的决的运动可以看成是由角点所以运动从而使点也随之变动线段上运动在定圆动点变化时当MMPQOP。MOPyx6,0Q52图。MOPyx6,0Q52图公式可得由中点坐标的坐标是则点的坐标是设点解.sin,cos,,,22PxOPyxM.sinsin,coscos223262yx的轨迹的参数方程是点所以M,.sin,cosyx3为参数?,?,?,轨迹又是什么内在圆如果点什么轨迹是上在圆如果点迹是什么曲线吗你能判断这个轨在圆外这里定点思考OQOQQ.,,们的轨迹是什么曲线并指出它形成轨迹的过程位置动点在各不同分别观察点通过动画演示MQ化参数方程和普通方程互.3由参数方程上例中,.sin,cosyx3为参数.,,.,sin,cos,,的圆半径为的轨迹是圆心在这就容易得出点于是参数方程得即由熟悉的普通方程如果将参数方程转化为但容易的轨迹的曲线类型并不直接判断点10313322MyxyxM.,曲线的类型有利于识别普通方程将曲线的参数方程化为,,,,,,.,.那么的关系求出另一个变数与参数它代入普通方程把例如的关系中的一个与参数如果知道变数参数方程得到普通方程可以通过消去参数而从一般地不同形式方程是曲线方程的曲线的参数方程和普通tgytfxtyxtgytfx,.就是曲线的参数方程.,,的取值范围保持一致必须使的互化中在参数方程与普通方程yx:,们各表示什么曲线并说明它通方程把下列参数方程化为普例3,1111xttx有由解;,tytx2111为参数t.sin,cossin21yx2为参数62图O123xy1-1-2-3-1.,3221xyty得到代入.,13211xxytx普通方程是所以与参数方程等价的又.,6211图包括端点为端点的一条射线这是以,,sincossinyxyx2212得到后减去平方把.,,sincossin2242xx所以又.,,222xyx普通方程是所以与参数方程等价的.72图这是抛物线的一部分Oxy1-1-11222-372图.示的点形成轨迹的过程观察直接由参数方程表2.,;,cos:为参数设为参数设的参数方程求椭圆例ttyxyx2231149422,cos,cos14993122yx得到代入椭圆方程把解.sin,sincos2414222yy即所以的参数方程是椭圆所以可取的任意性由参数149222yxy,,sin,为参数.sin,cos23yx,,14492222txty得代入椭圆方程把.,2221319txtx于是的参数方程是椭圆所以14922yx,,,tytx2132为参数t为参数t,,tytx2132?是椭圆的参数方程来才中的两个参数方程合起为什么例思考24.,中提出的问题思考在实验中理解通过动画演示归纳小结•参数方程的概念•圆的参数方程•参数方程和普通方程的互化•（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数•（2）三角法：利用三角恒等式消去参数•（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去练习1：求下列椭圆的参数方程：1416)1(22yx1128)2(22yx练习2：下列各参数方程各表示什么图形？)(sin9cos16)1(为参数yx)(sincos)2(为已知数为参数，mmymx