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第二章正投影与三视图基础学习目标第一节投影法与三视图第二节点、直线和平面的投影第三节轴测投影学习目标学习目标：①了解投影法的基本知识，理解和掌握正投影法的投影原理；②掌握各种基本体的形成、投影及其表面取点的方法，为组合体绘图打下基础；③理解直线投影的方法；④理解轴测图的画图方法。返回第一节投影法与三视图当阳光或灯光照射物体时，在地面或墙面上会产生影像，通过观察，人们总结规律：把这投射线（如光线）通过物体向选定的面（如地面或墙面）投射，并在该面上得到图形（影像）的方法，称为投影法。根据投影法所得到的图形称为投影图，简称投影，得到投影的面称为投影面，如图2-1所示。下一页返回第一节投影法与三视图一、投影法的分类投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。1.中心投影法投影线从一点发出的投影法是中心投影法。2.平行投影法投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。平行投影法中又可分为以下两种。①正投影：投影线方向垂直于投影面。②斜投影：投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，平时所说投影即正投影。下一页返回上一页第一节投影法与三视图二、正投影的基本特性1.真实性当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长，平面的投影反映实形，如图2-2(a)所示。2.类似性当直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但小于实长；平面的投影面积变小，形状与原来形状相似，如图2-2(b)所示。3.积聚性当直线或平面垂直于投影面时，则直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2-2(c)所示。下一页返回上一页第一节投影法与三视图三、三视图为了表达物体的形状，通常采用互相垂直的三个投影面，建立一个三投影面体系，如图2-3所示。正立位置的投影面称为正投影面，用Ｖ表示；水平位置的投影面称为水平投影面，用Ｈ表示；侧立位置的投影面称为侧投影面，用Ｗ表示。两投影面的交线称为投影轴。正投影面（Ｖ）与水平投影面（Ｈ）的交线称为Ｘ轴；水平投影面（Ｈ）与侧投影面（Ｗ）的交线称为Ｙ轴；正投影面（Ｖ）与侧投影面（Ｗ）的交线称为Ｚ轴。Ｘ、Ｙ、Ｚ三轴的交点称为原点，用Ｏ表示。下一页返回上一页第一节投影法与三视图为了获得三视图，把物体放在所建立的三个投影面体系中间，用正投影的方法，分别由前向正投影面投影所得图形为主视图；由上向水平投影面投影所得图形为俯视图；由左向侧投影面投影所得图形为左视图。此三投影称为物体的三视图。从三视图的形成过程可知，它们之间存在着严格的内在联系，结合几何元素的投影规律，可得出三视图的投影规律。下一页返回上一页第一节投影法与三视图1.位置规律以主视图为基准，俯视图在它的正下方，左视图在它的正右方。三视图间的这种位置关系，称为按投影关系配置，一般不能更动，当三视图按投影关系配置时，不必标注任一视图的名称。下一页返回上一页第一节投影法与三视图2.尺寸规律形体的一个视图反映两个方向的尺寸：主视图反映长和高，俯视图反映长和宽，左视图反映宽和高。显然，每两个视图中包含一个相同的尺寸：主视图与俯视图的长度相等且左右对正；主视图与左视图的高度相等且上下对齐；俯视图与左视图的宽度相等。上述“三等”规律可概括为：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。“三等”规律不仅针对形体的总体尺寸，形体上的每一几何元素也符合此规律，它实际上是对几何元素投影规律的进一步概括。绘制三视图时，应从遵循形体上点、线、面的投影规律出发，来保证此“三等”规律。下一页返回上一页第一节投影法与三视图3.方位规律主视图和俯视图能反映形体各部分之间的左右位置；主视图和左视图能反映形体各部分之间的上下位置；俯视图和左视图能反映形体各部分之间的前后位置。返回上一页第二节点、直线和平面的投影一、直角三投影面体系三投影面体系由三个互相垂直的平面组成，其中处于水平（正立、侧立）位置的平面称为水平（正立、侧立）投影面，分别以Ｈ（Ｖ、Ｗ）表示（如图2-4所示）。每两个投影面的交线称为投影轴，Ｈ与Ｖ的交线称为ＯＸ轴，Ｗ与Ｈ为ＯＹ轴，Ｖ与Ｗ为ＯＺ，三投影轴垂直相交的交点Ｏ为原点。二、点的三面投影的形成空间点用大写字母表示，水平投影用小写字母（正面小写加一撇，侧面小写加两撇）表示（如图2-4所示）。下一页返回第二节点、直线和平面的投影1.点在三投影面体系中的投影规律点的水平投影和正面投影的连线垂直于ＯＸ轴。点的侧面投影和正面投影的连线垂直于ＯＺ轴。点的水平投影到ＯＸ轴的距离等于点的侧面投影到ＯＺ轴的距离，反映空间点到正面的距离。2.两点的相对位置在投影图上判断空间两个点的相对位置，就是分析两点之间上下、左右和前后的关系，如图2-5所示。空间两点的左右、前后和上下位置关系可以用它们的坐标大小来判断。规定：Ｘ坐标大者为左，反之为右；Ｙ坐标大者为前，反之为后；Ｚ坐标大者为上，反之为下。下一页返回上一页第二节点、直线和平面的投影［例2-1］已知点Ａ（１５，１６，１２），求作其三面投影（如图2-6所示）。分析：可按照点的投影与坐标的关系来作。作图：（１）画坐标轴，并由原点Ｏ在ＯＸ轴的左方取ｘ＝１５得点（如图2-6(a)所示）。（２）过作ＯＸ轴的垂线，自起延方向量取１６ｍｍ得点ａ，沿Ｚ方向量取１２ｍｍ得ａ′（如图2-6(b)所示）。（３）按点的投影规律作出ａ″。（４）擦去多余线条。点的立体图画法如图2-7所示。下一页返回上一页xaxaxaHY第二节点、直线和平面的投影三、直线的投影1.直线的投影直线可以由线上的两点确定，所以直线的投影就是点的投影，然后将点的同面投影连接，即为直线的投影。2.各种位置直线的投影１）投影面平行线投影面平行线特性：平行于某个投影面，在此投影面上的投影即反映该直线的实长，而且投影与投影轴的夹角，也反映了该直线对另两个投影面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短（见表2-1）。下一页返回上一页第二节点、直线和平面的投影２）投影面垂直线投影面垂直线特性：垂直于某个投影面，在此投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长（见表2-2）。３）一般位置直线一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长，而且直线与投影轴的夹角也不反映空间直线对投影面的夹角。下一页返回上一页第二节点、直线和平面的投影四、直线上点的投影如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，并将直线的各个投影分割成和空间相同的比例（如图2-8所示）。［例2-2］求作ｃ在ａｂ直线上，使ａｃ∶ｃｂ＝１∶２（如图2-9(a)所示）。分析：根据定比性，ａｃ∶ｃｂ＝ａ′ｃ′∶ｃ′ｂ′＝１∶２，只要将ａｂ或ａ′ｂ′分成３（１＋２）等分即可求出ｃ和ｃ′。下一页返回上一页第二节点、直线和平面的投影作图：（１）自ａ引辅助线。（２）在上截取三等分，得１、２两点。（３）连，过１作的平行线交ａｂ于ｃ点。（４）过ｃ点做ａａ′的平行线交ａ′ｂ′线于ｃ′点，求出ｃ′。下一页返回上一页1aB1aB1Bb1Bb第二节点、直线和平面的投影五、平面的投影1.平面的表示法１）投影面垂直面与一个投影面垂直，而与另外两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面，包括铅垂面、正垂面和侧垂面（见表2-3）。２）投影面平行面平行于一个投影面的平面称为投影面平行面。由于三个投影面相互垂直，故平行于一个投影面的平面，必同时垂直于另外两个投影面。投影面平行面又分为水平面、正平面和侧平面。投影面平行面特性：平面在所平行的投影面上的投影反映实形，其余的投影都是平行于投影轴的直线（见表2-4）。下一页返回上一页第二节点、直线和平面的投影３）一般位置平面三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面。综合所得平面的投影特性：平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成一条直线—积聚性；平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形—实形性；平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影为类似图形—类似性。［例2-3］已知点Ａ（20,15,10）、Ｂ（30,10,0）、Ｃ（15,0,0），求作各点的三面投影。分析：由于ＺＢ＝０，所以Ｂ点在Ｈ面上，ＹＣ＝０，ＺＣ＝０，则点Ｃ在Ｘ轴上（如图2-10所示）。下一页返回上一页第二节点、直线和平面的投影作法：(1)作Ａ点的投影：在ＯＸ轴上量取＝20；过aX作aa’⊥OX轴，并使＝15，＝10；过a’作aa’’⊥OZ轴，并使＝、a、a’、a’’即为所求Ａ点的三面投影。(2)作Ｂ点的投影：在OX轴上量取＝30；过bX作bb’⊥OX轴，并使＝0，＝10，由于ZB=0，b’、bX重合。即b’在X轴上；因为ZB＝0，b’在轴上，在该轴上量取＝10，得b’’，则b、b’、b’’即为所求B点的三面投影。下一页返回上一页xaa'ZaaXoa''ZaaxaaXOb'XbbxbbYWObWOY第二节点、直线和平面的投影(3)作C点的投影：在ＯＸ轴上量取＝15；由于＝0，＝0，c、c’都在OX轴上，与c重合，c’’与原点O重合。［例2-4］如图2-11所示，已知点C及直线AB的两面投影，试过C点作直线AB的垂线CD，D为垂足，并求CD的实长。下一页返回上一页XOCcYcZ第二节点、直线和平面的投影分析：因为ab∥OX，所以AB是正平线，又因CD与AB垂直相交，D为交点，则a’b’⊥c’d’，由d’可在ab上求得d。利用直角三角形法可求得CD的实长。作法：(1)c’作c’d’⊥a’b’得交点d’。(2)由d’引垂直投影连线与ab交得d。(3)连接d和c，则c’d’、cd即为垂线CD的两面投影。(4)用直角三角形法求得C与直线AB之间的真实距离CD。下一页返回上一页第二节点、直线和平面的投影2.平面内的直线和点1)平面内的直线直线属于平面的几何条件是：过该平面内的两点，或过该平面内一点且平行于该面的一条直线。如图2-12(a)所示，相交直线AB与BC构成一平面，在AB、BC上各取一点M和N，则过M、N两点的直线一定在该平面内。其投影图作法如图2-12(b)所示。如图2-13(a)所示，相交直线AB和BC构成一平面，过点L∈AB作直线LK∥BC，则直线LK一定在该平面内。其投影图作法如图2-13(b)所示。下一页返回上一页第二节点、直线和平面的投影2)平面内的点点属于平面的几何条件是：点属于该平面内的一条直线。［例2-5］已知点K∈△ABC，且知其正面投影k’，求它的水平投影k（如图2-14(a)所示）。分析：因为K∈△ＡABC，所以K∈△ABC内过K点的任一直线。作图（如图2-14(b)所示）：(1)连a’k’，与b’c’相交得m’。(2)求m。(3)连接am并延长，依投影关系求出k。返回上一页第三节轴测投影轴测图是一种单面投影图，在一个投影面上能同时反映出物体三个坐标面的形状，并接近于人们的视觉习惯，形象、逼真，富有立体感。但是轴测图一般不能反映出物体各表面的实形，因而度量性差，同时作图较复杂。因此，在工程上常把轴测图作为辅助图样，说明机器的结构、安装、使用等情况。在设计中，用轴测图帮助构思、想象物体的形状，以弥补正投影图的不足。下一页返回第三节轴测投影一、轴测图具有平行投影的所有特性(1)平行性：物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。(2)等比性：物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变。(3)等形性：物体上平行轴测投影面的直线和平面，在轴测图上反映实长和实形（如图2-15所示）。下一页返回上一页第三节轴测投影二、图的分类按投射方向对轴测投影面相对位置的不同，轴测图可分为两大类。(1)正等轴测图：投射方向垂直于轴测投影面时，得到正轴测投影，简称正轴测图。(2)斜等轴测图：投射方向倾斜于轴测投影面时，得到斜轴测投影，简称斜轴测图。下一页返回上一页第三节轴测投影按轴向伸缩系数的不同，在上述两类轴测图中，每类又可分为以下两种。