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第1页（共21页）2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则（∁UA）∩B=．2．已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．3．已知loga2+loga3=2，则实数a=．4．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．5．若函数f（x）=是奇函数，那么实数a=．6．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．7．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为．8．已知α，β为三角形的内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．9．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]（a＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实数a的取值范围是．10．关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是．第2页（共21页）11．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f（）+f（）的值为．13．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．14．设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（﹣），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知0＜β＜π，且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）求sinβ的值．16．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．17．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，第3页（共21页）企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．18．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（1）若x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．19．已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．20．已知函数，，其中m∈R．（1）若0＜m≤2，试判断函数f（x）=f1（x）+f2（x）（x∈[2，+∞））的单调性，并证明你的结论；（2）设函数若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立，试确定实数m的取值范围．第4页（共21页）2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则（∁UA）∩B={﹣1，0，1}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由全集U=R，以及A，找出不属于A的部分，求出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}，∴CuA={x|x＜2}，又B={﹣1，0，1，2，3}，则（CuA）∩B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】设幂函数f（x）=xa，由幂函数f（x）的图象过，知，解得a=﹣，由此能求出f（4）．【解答】解：设幂函数f（x）=xa，∵幂函数f（x）的图象过，∴，解得a=﹣，第5页（共21页）∴，故f（4）==．故答案为：．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．已知loga2+loga3=2，则实数a=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：∵loga2+loga3=2，∴loga6=2，∴a2=6，a＞0，且a≠1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．4．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．【点评】本题考查复合函数的单调性的求法，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．第6页（共21页）5．若函数f（x）=是奇函数，那么实数a=1．【考点】奇函数．【分析】利用奇函数定义中的特殊值f（0）=0解决问题．【解答】解：因为f（x）是奇函数，所以f（0）==0，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查奇函数定义中的特殊值．6．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出关于x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=﹣e．故答案为：﹣e【点评】本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率等于2，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题．第7页（共21页）7．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为y=﹣2cos4x．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象；再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为y=﹣2cos4x的图象，故答案为：y=﹣2cos4x．【点评】本题主要考查诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．已知α，β为三角形的内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在三角形中，不妨设α，β对应的边分别为a，b，根据大边对大角知a＞b⇔α＞β成立，由正弦定理=得α＞β⇔sinα＞sinβ，即“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要条件，故答案为：充要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]（a＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实数a的取值范围是1≤a≤2．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先求出函数f（x）的最小，正好为了说明[0，a]包含对称轴，当x=0时y=3，根据对称性可知当x=2时y=3，结合二次函数的图象可求出a的范围．第8页（共21页）【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+3是开口向上的抛物线，对称轴x=1当x=1时函数取得最小值f（1）=1﹣2+3=2∵y=x2﹣2x+3在[0，a]上最小值为2∴a≥1当x=0时y=3函数y=x2﹣2x+3在（1，+∞）上是增函数，当x=2时y=4﹣4+3=3，当x＞2时y＞3∵函数y=x2﹣2x+3在[0，a]上最大值为3∴a≤2综上所述1≤a≤2．故答案为：1≤a≤2【点评】二次函数是最常见的函数模型之一，也是最熟悉的函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象．10．关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，可得，进而可得m的取值范围．【解答】解：若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，第9页（共21页）故，即，解得：m∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，难度中档．11．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（2，2+）．【考点】对数函数的值域与最值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由于f（x）在定义域{x|x＞0}内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=lnx+2x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b为方程lnx+2x=kx的两个不同根．∴k=2+，令g（x）=2+，g'（x）=，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）递减，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）递增，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋