通信原理第2章 确知信号 樊昌信

通信原理通信原理第2章确知信号第2章确知信号2.1确知信号的类型按照周期性区分：周期信号：T0－信号的周期，T00非周期信号按照能量区分：能量信号：能量有限，功率信号：归一化功率：平均功率P为有限正值：能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于tTtsts),()(0dttsE)(022/2/2)(1limTTTdttsTP2222/IVRIRVP第2章确知信号2.2确知信号的频域性质2.2.1功率信号的频谱周期性功率信号频谱（函数）的定义式中，f0＝1/T0，n为整数，-n+。－双边谱，复振幅(2.2－4)|Cn|－振幅，n－相位)12.2()(1)(2/2/200000TTtnfjndtetsTnfCC)22.2()(0/2nTntjneCts)32.2()(12/2/0000TTdttsTCnjnneCC第2章确知信号周期性功率信号频谱的性质对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即Cn的模偶对称Cn的相位奇对称)52.2()(1)(1*2/2/202/2/20000000nTTtnfjTTtnfjnCdtetsTdtetsTCn102345-2-1-3-4-5|Cn|(a)振幅谱102345-2-1-3-4-5nn(b)相位谱第2章确知信号将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到式中式(2.2－8)表明：1.实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n=1时)和各次谐波(n=1,2,3,…)。2.实信号s(t)的各次谐波的振幅等于3.实信号s(t)的各次谐波的相位等于4.频谱函数Cn又称为双边谱，|Cn|的值是单边谱的振幅之半。)82.2(/2cos/2sin/2cos)(102201000/20nnnnnnnTntjnTntbaCTntbTntaCeCtsnnab/tan122nnba2221nnnbaC称为单边谱。第2章确知信号若s(t)是实偶信号，则Cn为实函数。因为而所以Cn为实函数。)Im()Re()2sin()(1)2cos()(1)]2sin()2)[cos((1)(12/2/02/2/02/2/002/2/20000000000nnTTTTTTTTtnfjnCjCdttnftsTjdttnftsTdttnfjtnftsTdtetsTC0)2sin()(2/2/000TTdttnfts第2章确知信号【例2.1】试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。由式(2.2-1)：0T-TtVs(t)tTtstsTttVts),()()2/(2/,02/2/,)(TncTVnfTnfVnfjeeTVenfjVTdtVeTCnfjnfjtnfjtnfjnsinsin22110002/22/22/2/202/2/20000nntnfjtnfjneTncTVeCts0022sin)(Cn第2章确知信号【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。由式(2.2-1)：因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。T-Tt0Vs(t)tTtstsTttVts),()(,00,)(TnjnfjtnfjtnfjnenjVnfjeTVenfjVTdtVeTC/202020021221211000第2章确知信号【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。由式(2.2-1)：由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。t1s(t)ttftsttts)1()(10)sin()(10222/2/2)14(2)sin()(10ndtetdtetsTCntjTTtnfjnnntjents221412)(第2章确知信号2.2.2能量信号的频谱密度频谱密度的定义：能量信号s(t)的傅里叶变换：S(f)的逆傅里叶变换为原信号：S(f)和Cn的主要区别：S(f)是连续谱，Cn是离散谱；S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱。实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭，因dtetsfSftj2)()(dfefStsftj2)()()()(,)()(22fSfSdtetsdtetsftjftj【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。设它的傅里叶变换为矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/)Hz。第2章确知信号2/02/1)(tttga)(sin)sin()(21)(2/2/2fcffeefjdtefGfjfjftja1(b)Ga(f)t0(a)ga(t)Ga(f)ga(t)f1/2/-2/-1/0图2-5单位门函数－单位门函数第2章确知信号【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。函数的定义：函数的频谱密度：函数的物理意义：一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。00)(1)(ttdtt1)(1)()(2dttdtetfftj第2章确知信号函数的性质1：函数可以用抽样函数的极限表示：因为，可以证明式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。（见左图）和下式比较：(2.2-26)可见(2.2-28)即抽样函数的极限就是函数。1)(sindtktckttt)(sinlim)(ktcktk1)(dtt)(sinlim)(ktcktk第2章确知信号函数的性质2：单位冲激函数(t)的频谱密度1)(1)()(2dttdtetfftjf(f)10t(t)0第2章确知信号函数的性质3：(2.2-30)【证】因为物理意义：可以看作是用函数在t=t0时刻对f(t)抽样。由于单位冲激函数是偶函数，即有(t)=(-t)，所以式(2.2-30)可以改写成：(2.2-31)dttttftf)()()(00)()()()()(0000tfdttttfdttttfdttttftf)()()(00函数的性质4：函数也可以看作是单位阶跃函数的导数。单位阶跃函数的定义：即u(t)=(t)用函数可以表示功率信号的频谱密度，见下例。10t图2-8单位阶跃函数第2章确知信号0,1,0,0)(tttu当当第2章确知信号【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2f0t，则其频谱密度S(f)按式(2.2-21)计算，可以写为参照式(2.2-28)，上式可以改写为引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。)(sin)(sin2lim)(])(sin[)(])(sin[2lim2coslim)(0000002/2/20ffcffcffffffffdtteffSftj)]()([21)(00fffffSf0－f00(b)频谱密度t(a)波形第2章确知信号2.2.3能量信号的能量谱密度定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理(2.2-37)将|S(f)|2定义为能量谱密度。式(2.2-37)可以改写为(2.2-38)式中G(f)=|S(f)|2－能量谱密度由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数,因此上式可以改写成(2.2-40)dffSdttsE22)()(dffGE)(0)(2dffGE第2章确知信号【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度在例2.4中，已经求出其频谱密度：故由式(2.2-39)得出)(sin)()(fcfGfSa2222)(sin)(sin)()(fcfcfSfG第2章确知信号2.2.4功率信号的功率谱密度定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2tT/2sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱密度|ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有(2.2-41)将定义为信号的功率谱密度P(f)，即dffSdttsETTTT22/2/2)()(2)(1limfSTTT2)(1lim)(fSTfPTT第2章确知信号周期信号的功率谱密度：令T等于信号的周期T0，于是有(2.2-45)由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:(2.2-46)式中|Cn|2－第n次谐波的功率利用函数可将上式表示为(2.2-47)式中上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f)，即(2.2-48)2/2/202/2/200)(1)(1limTTTTTdttsTdttsTPnnTTCdttsTP22/2/2000)(1dfnfffCP)()(02其他处0)(0nffCfCnnnfffCfP)()()(02第2章确知信号【例2.8】试求例2.1中周期性信号的功率谱密度。该例中信号的频谱已经求出，它等于式(2.2-14)：所以由式(2.2-48)：得出(2.2-50)TncTVCnsinnnnfffcTVnfffCfP)(sin)()()(022020T-TtVs(t)nnfffCfP)()()(02第2章确知信号2.3确知信号的时域性质2.3.1能量信号的自相关函数定义：(2.3-1)性质：自相关函数R()和时间t无关，只和时间差有关。当=0时，R(0)等于信号的能量：(2.3-2)R()是的偶函数(2.3-3)自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：dttstsR)()()(EdttsR)()0(2)()(RRdeRfSfj22)()(dfefSRfj22)()(第2章确知信号2.3.2功率信号的自相关函数定义：(2.3-10)性质：当=0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：(2.3-11)功率信号的自相关函数也是偶函数。周期性功率信号：自相关函数定义：(2.3-12)R()和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系：2/2/)()(1lim)(TTTdttstsTRPdttsTRTTT2/2/2)(1lim)0(2/2/000)()(1)(TTdttstsTRdfefPRfj2)()(deRfPfj2)()(第2章确知信号【例2.9】试求周期性信号s(t)=Acos(t+)的自相关函数。【解】先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换，即可求出其自相关函数。求功率谱密度：结果为求自相关函数：)(4)(4)(