空间与轴对称问题有限元分析

概述三个方向尺寸属于同一数量级，所受荷载或形体复杂，不可能像上一章那样简化成平面问题处理，这时必须按空间问题求解。与平面分析不同，空间有限元分析有如下两个困难：1）对空间物体进行离散化时不像平面问题那样直观，人工进行离散时很容易产生错误；2）未知量的数量剧增。建立网格自动生成前处理程序采用高阶单元来提高单元精度平面图形绕面内一轴旋转所产生的空间物体，称为轴对称物体，是一类特殊的空间问题。空间问题1常应变四面体单元形函数与平面三角形单元相对应，四面体单元内任一点可用“体积坐标”来表示。各子四面体体积与三角形单元一样，体积坐标为Ti=Vi/V,三个是独立的，它有“本1，它0，总和1”的性质。P123四面体总体积(右旋体积正)111222333444111161xyzxyzVxyzxyz1234P234P124P1342224441333111161xyzxyzVxyzxyz1113332444111161xyzxyzVxyzxyz1114443222111161xyzxyzVxyzxyz1112224333111161xyzxyzVxyzxyzP剩下来的工作基本和三角形常应变单元类似。作业：自学单元列式内容。空间问题2十结点（二次）四面体单元形函数类似于平面六结点二次三角形单元，采用试凑法建立结点的形函数。T1T2T3O12345678N1=a×785×234=a×(T1-1/2)×T1为使N1满足本点为1，可得a=2，代回后得N1=T1(2T1-1)余者类似，也可按如下通式得到：ipjiij=jiii4iST,T,T,TN=ST,T,T,T12341123式中p为形函数阶次，分子为不通过i点的平面方程左端项，分母中括号内为i点体积坐标。请大家自行验证！空间问题3形成四面体的对角线划分方法先划分成六面体再分为四面体1243568714671246143748761）六面体划分为5个四面体A5型1467间连6根对角线1567空间问题3形成四面体的对角线划分方法1）六面体划分为5个四面体1243568712352568243835872358B5型2358间连6根对角线相邻六面体必须一个为A5另一个为B5共同点相对面对角线相互空间交叉空间问题3形成四面体的对角线划分方法2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687124356435687连47、76、636874、5673、4763连23、25、632351、3562、3642A6型以折面3564分空间问题3形成四面体的对角线划分方法2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687连35、52、633562、5673、2351连47、46、633764、6874、3642A6型以折面2376分243687123567两种A6划分结果完全相同空间问题3形成四面体的对角线划分方法2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687连23、35、452453、4753、2351连45、46、674562、5674、6874B6型以折面2475分245687124357空间问题3形成四面体的对角线划分方法2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687连47、76、544753、5674、6874连32、25、542351、4352、4562B6型以折面3465分124356435687两种B6划分结果也完全相同作业：P.95给出了由六面体8个角点点号，按式(4.1.25)求A6和A5型四面体结点号的方法。请考虑B6和B5型的计算公式。空间问题4六面体类单元的形函数1）八结点单元12345678ξηζ类似平面问题矩形线性单元，由试凑法可建立形函数如下：iN0001=1+ξ1+η1+ς82）二十结点单元和平面问题一样，基于试凑法，可以根据上述八结点低阶单元形函数构造各顶点形函数。ξηζ123456789101112141720作业：32结点三次单元空间问题5五面体类单元的形函数1）试凑法建立六结点形函数用于与六面体单元联合，解决边界形状不规则物体的分析。11(1,2,3)2iNLii课堂练习：建立15结点五面体单元形函数。2）三维等参元列式基本思想和平面问题一样，具体列式参看P.101～P.104。L1L2ζ312645112iNLi+3轴对称问题工程中有一类结构，它们的几何形状、约束条件及作用的荷载都对称于某一固定轴(可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果)，其力学分析称为轴对称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。1离散化由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果，2应力与应变对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系，对称轴为Z轴，径向为r轴，环向为θ轴。因此轴对称问题分析可在子午面内划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环形单元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题一样。轴对称问题在柱坐标下轴对称问题的几何方程为根据具体单元,代入所建立的位移模式,即可得应变矩阵B。0010rzrzurrwuzzwurruwzrzr轴向位移径向位移教材上有推导的示意图，参考弹性力学。由于算子中有1/r，所以三角形环单元B不再是常数矩阵。轴对称问题根据具体单元，即可得应变、应力矩阵等。ED101-1-101-1-=1+1-2101-221-σ–Dε=0式中对称对线弹性问题，在上述应变分量条件下，物理方程为以三角形环单元为例，其位移模式为轴对称问题根据轴对称问题的算子矩阵，单元应变矩阵为应力矩阵：由于应变矩阵的特点，应力分量中除剪应力为常量外，其余三项正应力均不再是常数。轴对称问题由于B中含有坐标变量，因此积分运算较平面问题复杂，精确积分参见Zienkiewicz(FiniteElementMethod,5thEd，2000)。教材上对三角形环单元具体介绍了ke和FEe的有关计算过程。请自学相关内容。TΔ2dekrABDB单元刚度矩阵仍可按照平面问题的方法建立，但需注意体积积分应在整个环上进行。实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。如何进一步改进积分精度？轴对称问题等参元分析教材上P.111具体给出了单刚和等效荷载结果。T12[];[]uwNNe12dNδNII单元位移场：单元描述：TT1122[];[]erzrzrzerNrriiiiiiiiiiiiNNrzrzJrzNNrz11112221223ˆˆˆˆ;;iiiiiiiNNNNNHJJHJJHNri圆柱坐标系下雅可比矩阵：T132210[];(1,2,)00iHHHiHHe12eεBδBBδB应变矩阵：如果轴对称体上作用的非轴对称荷载，如烟囱上作用的风荷载及地震荷载等，此时结构的位移、应变和应力将不再是轴对称的，需按照空间问题求解。轴对称问题非轴对称荷载此时求解费用将大大增加，如何进行简化？采用半解析有限元方法，将此类问题化为若干轴对称问题叠加进行求解。此处将轴对称体上作用的一般荷载P(r,z,θ)沿三个坐标轴方向分解，并沿θ方向展开成付氏级数：011011011(,,)(,)(,)cos(,)sin(,,)(,)(,)cos(,)sin(,,)(,)(,)sin(,)cosnniiiinniiiinniiiiRrzRrzRrziRrziZrzZrzZrziZrziTrzTrzTrziTrzi轴对称对称反对称扭转轴对称问题非轴对称荷载非轴对称荷载的分解：R0、Z0与θ无关，是轴对称荷载；T0与θ无关、沿θ方向，是扭转荷载；Ri(r,z)cosiθ等是关于θ=0平面的对称荷载；Ri(r,z)siniθ等是关于θ=0平面的反对称荷载；对称反对称轴对称问题非轴对称荷载将位移作类似的分解：u0、w0轴对称位移；v0扭转位移；ui(r,z)cosiθ、wi(r,z)cosiθ、vi(r,z)siniθ是关于θ=0平面对称的位移；ui(r,z)cosiθ、wi(r,z)cosiθ、vi(r,z)cosiθ是关于θ=0平面反对称的位移。011011011(,,)(,)(,)cos(,)sin(,,)(,)(,)cos(,)sin(,,)(,)(,)sin(,)cosnniiiinniiiinniiiiurzurzurziurziwrzwrzwrziwrzivrzvrzvrzivrzi轴对称对称反对称扭转轴对称问题非轴对称荷载对称荷载作用下的计算：对称荷载引起的位移是对称的：111T11111(,)coscos00(,)cos(0cos0)(,)sin00sinijinnmiijjiijiijnniimmmiiiuuurziiwwrziiNwvvrziivNNuvNNieφei33iuΦIIΦΦδNδSYM11TTTT11coscos00(,,)cos0cos0sin00siniinniiiiiinniRiiRPrzZiiZTiiTii12n2ΦPΦΦΦPPPΦPiiiijjjjjiPuwmN；单元的结点在第组荷载作用下引起的位移幅值——与平面问题单元类型有关的形函数——平面问题单元结点位移。、、v；——单元结点个数；eδ轴对称问题非轴对称荷载由于荷载非轴对称，因此一点的应变分量将有6项。采用虚位移原理或势能原理建立单元的刚度矩阵与等效荷载矩阵,公式显式表达式见教材P.115～116.(4.4.11～4.4.4.18)。基于三角函数的正交性，单元分析得到的单元刚度矩阵是分块对角阵。对称荷载下的轴对称问题分析可由荷载的每一级数项分别计算然后叠加；并且每一级数项对应的求解都是轴对称问题的解。上述对称荷载分析中当i=0时得到轴对称荷载情况的解；若将正弦与余弦函数互换则得到反对称情况的解，并且此时i=0时得到扭转荷载的解。xyz平面应力：0yzxzz平面应变：xyz0yzxzz弹性力学两类平面问题