误差与数据处理

1、对测量结果作出科学的评价；2、指导研究者对测量提出合理的精度要求；3、使计量结果得到公认、甚至可以作为法律依据；4、满足机电一体化系统的要求；5、科技工作者应该掌握的知识；一、掌握误差理论的重要性二、测量是误差与数据处理理论的前提1、测量是人类认识、改造物质世界的重要手段之一。2、现代社会中，测量对促科学技术的发展起到重要作用。三、数据处理能力是科研工作者的基本功1、数据处理能力代表着科研工作者实验水平的高低。高明的科技工作者可以利用精度不高的仪器，发现极其有价值的自然规律或新事物。2、大量数据信息，必须经过合理的数据处理才有价值。第一节误差理论的基本概念要点：测量、误差、精度、有效数字主要内容第二节测量结果的评定和不确定度要点：间接测量的不确定度的合成、间接测量的数据处理步骤第三节实验数据的常用处理方法及基本的测量方法要点：列表法、作图法、逐差法、最小二乘法1、经典误差理论的萌芽期用最小二乘法处理实验数据，奠定了测量数据处理的理论基础。代表人物：高斯（德）、勒让德尔（法）一、误差理论的形成与发展第一节误差理论的基本概念2、经典误差理论的成熟期代表人物：契比雪夫（俄）、马利科夫（俄）马利科夫出版了第一本误差理论专著《计量学基础》。经典误差理论以统计学理论为基础，以静态测量误差为研究对象，以服从正态分布的随机误差估计和数据处理为特征，用测量误差表征测量结果的质量。3、现代误差理论的形成与成熟期代表人物：J.E.Burns《误差与不确定度》现代误差理论的形成和发展期以不确定度的提出为标志，不确定度是对测量结果的定量表征反映了测量结果的分散程度，决定了测量结果的使用价值。二、误差公理测量结果都有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量过程中。测量仪器、测量方法、测量人员、测量环境、测量对象等都会产生误差。例：用台式血压计测量人体血压。§1.1测量的基本概述一、概念1、测量定义：为了取得被测对象的量值而进行的实验称为测量。它是一个比较过程，即将被测量与体现测量单位的标准量进行相互比较。cSL比值就是测量的结果，反映了被测量相对于某一测量标准在数字上的关系。/cLSL为被测量，S为测量单位2、测量包括测量过程和测量结果。测量过程包括：建立单位、选择测量工具、设计测量方法、研究分析测量结果、分析产生误差的原因及如何消除误差。测量结果包括：比值、测量单位和精度评定。例：测量一工件的长度为90.2mm,不确定度为0.1mm。测量对象、测量单位、测量手段、测量不确定度称为测量过程的四要素。二、测量方法及分类1、直接测量：将被测量与作为测量标准的量直接进行比较，或用标定好了的仪器直接读取被测量数值大小。例如：用米尺测长度、秒表测时间、天平秤质量、温度计测温度、电表测电压和电流、用频率计测量频率等。（一）根据测量结果的获取方式划分2、间接测量：待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的函数运算获得的测量。)(21n,...x,xxfy用数学表达式表示为Y是被测量，x1，x2，x3，…为直接测量的量值。例如：测导线的电阻率，可通过测得该导线的长度L，直径d和电阻R，而后按下式计算得到。另外面积、体积、密度的测量往往也用间接测量。间接测量的应用极广，当直接测量不很方便，甚至不可能实现时，或者直接测量的误差较大，或者缺乏直接测量的仪器时，常常要进行间接测量。LRd423、组合测量：由若干直接测量和间接测量的组合所形成的测量方法。被测量不能通过直接测量或间接测量得到，而必须通过直接测量的测得值或间接测量的测得值建立联立方程组，通过求解联立方程的方法，才能得到最后的测量结果。在一般的日常检定、测试中、组合测量用得较少，但在重要的精密测量中，应用较多。测量是确定待测量大小的实验过程，它不可避免地受到这样那样因素的影响，使测量结果不会绝对准确，存在一定的误差。(二)根据测量条件划分1、等精度测量：在相同的测量精度条件（同样的环境条件、同样的测量仪器、同样的试验方法及同样水平的观测者）下对同一待测量所做的重复性测量。即在相同条件下进行的多次测量。2、非等精度测量：在不同的测量条件下对同一待测量所做的测量，又称复现性测量。常用于高准确度的测量问题。说明：尽管实际测量中，很难保证所有条件不变，但由于等精度测量数据处理方法相对简单，因此只要测量条件变化不大，一般都可近似为等精度测量。(三)根据被测对象在测量过程中所处的状态划分1、静态测量：被测量在测量过程中固定不变。2、动态测量：被测量在测量过程中随时间（或其它影响因素）不断变化。静态测量不需考虑时间因素的影响。实际测量中接触最多的是静态测量，把被测量或误差作为随机变量来处理。§1.2误差的基本概念误差=测量结果-真值被测量的测得值（测量结果）与被测量的真值之差。一、误差的定义：测量结果由直接测量或可间接测量得出，分为单次测量结果和平均测量结果。真值：某一物理量在一定条件下（某一时刻、某一位置或状态下）所具有的客观的、不随测量方法改变的真实数（量）值。真值是一个理想的概念，一般无法得到。可从下列几种方法得知。（1）理论真值：通过理论方法获得的真值。例如：三角形内角之和为180o；平面直角理论值为90o，理想电容或电感构成的电路，电压与电流的相位差为90o。（2）计量学约定真值：国际计量机构内部约定的真值。例如：七个国际基本单位量的确定等。（3）标准器的相对真值：高一级标准器的量值（指示值）可以作为低等级仪器的相对真值。二、误差的来源在测量过程中，误差产生的原因主要可归纳为：测量仪器、测量方法、测量环境、测量人员等几个方面的来源。1、测量仪器误差：是标准器具、仪器仪表和辅助设备所产生误差的总和。也是实验中误差最重要的一类来源。为类误差可通过恰当的测量方法和正确的操作得到部分的控制。2、环境误差：由于各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起的测量装置和被测量本身的变化所造成的误差。其消除的方法是改善测量环境。例：环境温度、湿度、气压的改变引起空气各部分的扰动；外界及测量人员引起的振动；照明变化引起视差等都会引起误差。如：检定100mm的二等量块，对温度的要求为：（20±0.5）℃3、方法误差：由于测量方法或计算方法不完善、不合理等原因而引起的误差。例如：用电压表测电源的电动势、用伏安法测电阻时忽略电表内阻的影响；分析处理数据时遇到无理数，比如用钢卷尺测量大轴的圆周长S，再通过计算求出大轴的直径d=S/π，因近似数π取值的不同，将会引起方法误差等。4、人员误差：由于测量人员分辨力有限，因工作疲劳引起视觉感官的生理变化、反应速度及固有习惯引起的读数误差、精神上的因素产生的一时疏忽等原因造成的测量误差。例如：用读数显微镜测量圆的直径。叉丝5、测量对象变化误差：由于被测对象自身变化所产生的误差。三、误差的分类1、系统误差：在同一测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定不变系统误差；或在条件改变时，按一定规律变化的误差变化系统误差。例如：零点不准，表盘偏心、刻度不均匀、标准量值的不准确、量具随温度变化等等。说明：1）系统误差按一定规律出现，且总可归结为一个或几个因素的函数。如时间，温度等的函数。2）系统误差具有重现性。只要测量条件相同，系统误差是可以重现的。3）可修正性。系统误差的重现性，多次测量的平均值也不能减弱它的影响。但可通过“修正”的方法从测量结果中消除。系统误差、随机误差、粗大误差2、随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值时大时小，符号时正时负，以不可预知的方式变化。随机误差是测量结果减去对同一被测量进行无限多次处理结果的平均值（近似真值）。例如：温度的波动、噪声的干扰、磁场的变化、电源电压的起伏、仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变形等引起的示值不稳定、千分尺测长度时的压力控制等。说明：1）随机误差是由于某些难以控制的偶然因素产生的综合影响，也称偶然误差。3）随机误差在大量的重复测量中将遵守一定的统计规律，增加测量次数可减小随机误差对测量结果的影响。5）随机误差的主要特征：随机性、产生在测量过程中。单次测量的随机误差没有规律，也不可预见，不能用实验的方法来消除。但是大量重复测量的结果遵循某种统计规律，因此可以采用概率统计的方法来处理含有随机误差的数据。服从正态分布的随机误差具有如下性质：在一定条件下，对某量进行测量时，随着测量次数的增加，测量数据的起伏会呈现一定的统计规律性。正态分布是最常见的随机变量或随机误差的分布规律。f(δ)δ单峰性：绝对值小/大的误差可能性大/小对称性：大小相等的误差正、负机会均等有界性：绝对值非常大的可能性几乎为零抵偿性：正负误差相互低消概率密度函数误差3、粗大误差：又称“疏失误差”或“寄生误差”，明显超出在规定条件下预期的误差。特征：明显的歪曲测量结果。成因可归纳为测量条件突变或人为因素。它们反映测量值与平均值之间的偏离程度，数值越小，偏离程度越小，彼此之间的离散程度越小，反之，离散程度越大。标准差（均方根）Sn：221()1niinnxxSSnX0为测量量的标准值。三种误差的分布示意图：误差的分类与鉴别分类误差的原因误差的鉴别系统误差（1）仪器结构不良；（2）周围环境的改变。（1）观测值总往一个方向偏，或者周期性变化；（2）误差大小和符号在多次重复测中几乎相同；（3）已知标准值时可经过修正减小乃至几乎消除的误差。随机误差某些难以控制的偶然因素。在等精度测量下服从正态分布：（1）有界性；（2）单峰性；（3）对称性；（4）抵偿性。粗大误差粗枝大叶造成的观测误差或计算误差（1）观察结果与事实不符；（2）认真操作可以消除的误差。四、误差的表示方法常用的误差表示方法有绝对误差法、相对误差法和引用误差法。1、绝对误差：被测量的测量值与其约定真值之差，简称误差。绝对误差=测量值–约定真值0xxΔx（1）一般所说的误差就是绝对误差。约定真值x0为国际公认的最高基准，用于近似表示真值，也称为标准值（实际值）.（2）绝对误差具有确定的大小、单位和“+”、“-”号组成。反映测量值偏离约定真值的大小与方向。误差的绝对值是误差值的模，在应用中，要分清绝对误差与误差的绝对值。系统误差、随机误差均可用绝对误差表示。xxxii（3）对一般物理实验而言，若没有标准值，将用同等条件下多次测量的平均值近似为标准值。每个测量值的绝对误差可表示如下：被测量的真值（标准值），通常是不知道的，若不知真值一般用有限测量值的平均值来近似表示真值。测量值的平均值是真值的最佳估计值，因此平均值也叫最佳值。处理数据时常用的平均值有：算术平均值：nx)x...xx(nxniin1211均方根平均值：niinrxnnx...xxx12222211xxxiimm2050849mm105094921..x..x例：某加工车间加工一批直径为50mm的轴，抽检两根轴的直径分别为49.9mm和49.8mm，两根轴的绝对误差为（4）关于修正值计量中经常使用这一概念，修正值是以代数法相加于未修正结果，以补偿假设的系统误差之值。因系统误差为一定值，与绝对误差的形式相同，所以修正值通常表示为假设的系统误差的负值。x式中，C为测量结果的修正值，Δx0为系统误差，x0为标准值，为多次测量的算术平均值，即测量结果。xx)xx(xC000修正值=-系统误差=约定真值-测量值最佳估计值约定真值（实际值）=修正值+测量值平均值xCx0例：一个10g的三等标准砝码，经二等砝码计量检定得到误差为-0.002g，砝码的实际值（约定真值）为：g..00210002010若是单次测量：xCx0例：用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，则修正后的结果为:226+（-5）=221V修正值应用说明：（A）在已修正结果中还存在系统误差，但能使测量结果的准确度更符合于实际，经过修正的测量值可以减小系统误差而更接近于真值。（B）系统误差是不可能完全准确知道