误差分析与数据处理-第四章.part2

开课单位：精密仪器与机械学系任课教师：尉昊赟（[e-mail]）李岩（[e-mail]）误差理论与数据处理清华大学本科生选修课课号：00130172第四章测量结果的不确定度评定第一节测量不确定度的基本概念与分类第二节标准不确定度的评定第三节合成标准不确定度第四节扩展不确定度第五节测量数据的处理步骤和测量结果的表达第2页标准不确定度：用标准偏差表示的不确定度。A类标准不确定度：用统计方法评定出的不确定度。B类标准不确定度：用非统计方法评定出的不确定度。合成标准不确定度：由各标准不确定度分量合成得到。扩展标准不确定度：由合成标准不确定度乘以包含因子k得到。AB类标准不确定度标准不确定度类标准不确定度不确定度合成标准不确定度扩展不确定度测量不确定度的分类第3页（一）定义：用统计方法评定出的不确定度。（二）符号：用符号u表示，有多个分量时用ui表示（三）评定方法：在独立重复的测量条件下，对被测量X的n次独立重复观测，得测量列xi(i=1,2,···，n),则用观测值的实验标准偏差来表示不确定度。具体计算评定步骤：1）设观测系列值为xi(i=1,2,···，n)求解算术平均值nii1xxn＝标准不确定度的A类评定第4页212)()()()1()()()()()iniiiisxxxxsxnxxsxsxsxnxAuxsxxA为单次测量值的实验标准差，由贝塞尔公式计算得到3)测量结果常用算术平均值表示，这时需求的实验标准差:A类评定结果：观测列中的任一单次测值的类标准不确定度为算术平均值的类标准不确()()()sxuxsxn定度为＝标准不确定度的A类评定第5页几点注意事项：1、标准偏差与方差定义：方差：(variance)(通用计量学术语c.2.20)(ISO3534-1,2.33)一种对分散性的量度。它是观测值与其平均值之差的平方和除以观测值的总数减一。(符号：s2)标准偏差：(standarddeviation),(c.2.21;ISO3534-1,2.45)方差的正平方根。（符号：s)与[随机变量或概率分布的]方差及标准偏差定义、符号不同。[随机变量或概率分布的]方差：中心化随机变量平方的期望。σ2＝V(X)=E{[X-E(X)]2}[随机变量或概率分布的]标准偏差：方差的正平方根。符号：σ标准不确定度的A类评定第6页2、三种标准不确定度（standarduncertainty)都是用标准偏差(或称实验标准偏差）s（而非方差s2）来表示的。3、计算标准偏差的公式是贝塞尔公式，试问测量数据列的分布是否必须是正态分布？为什么？不一定是正态分布，因如何计算标准偏差是由其定义决定的。方差一种对分散性的量度。它是观测值与其平均值之差的平方和，除以观测值的总数减一。(符号：s2)标准偏差方差的正平方根。（符号：s)因此，不管测量数据是怎样的分布，都可以采用贝塞尔公式来计算。AB类标准不确定度标准不确定度类标准不确定度合成标准不确定度不确定度扩展不确定度标准不确定度的A类评定第7页（一）定义：用非统计方法评定出的不确定度。（二）符号：用符号u表示，有多个分量时用ui表示，当既有A类又有B类时，下标i统一编号。（三）评定方法：B类评定方法获得的不确定度，不是依赖于对样本数据的统计计算，而是设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计，这些先验信息如：有关测量方法、测量仪器、物理常数等的资料。例如：1986年基本物理常数推荐值给出基本电荷e的值是1.60217733×10－19（19）C（库），并且注明了括号中的数字是一倍标准偏差且与前面给定值的末位对齐，并给出其自由度为17。标准不确定度的B类评定第8页•自由度的概念–自由度定义为计算总和中独立项的个数，即总和的项数减去其中受约束的项•研究自由度的意义–自由度的大小直接反映了不确定度的评定质量不确定度的评定质量取决于标准差的可信赖程度，标准差的信赖程度与自由度关系如下：上式表明：自由度越大，标准差的相对不确定度越小，标准差愈可信赖。第9页标准不确定度的B类评定12uuv•自由度的计算方法情况1）：对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中的n个独立测量个数减去待求量的个数1，即。情况2）：对某量X进行n次独立重复测量，在用贝塞尔公式计算实验标准差是，需要计算残差平方和中的n个残差，因为n个残差满足一个约束条件，即独立残差个数为n-1，即用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为n-1。情况3）：按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由度，记为Veff，计算公式为：（常用于B类标准不确定度的评定）第10页标准不确定度的B类评定ixx0ixx212uu1nB类不确定度评定的信息来源1、过去的测量数据；例以前相同条件下测量得到的实验标准差s2、有关材料和测量仪器的特性方面的经验和知识有关材料特性的数据有关测量仪器准确度的数据例:普通物理实验中：用数字电压表测直流电压源的电压值，得：10.000107,10.000103,10.000097,10.000111,10.000091,10.000108,10.000121,10.000101,10.000110,10.000094,课堂问题讨论：测量结果为：10.000104±0.000003v?测量仪器的不确定度考虑没有？？2210.0001048.92.81(1)iiXXnnnvvv,sv,sv标准不确定度的B类评定第11页3、制造厂家提供的说明书等文件例：准确度等级、使用环境条件、随仪器出厂时间变长而引起的最大允许误差的变化4、通过校准、检定、测试报告或其他证书提供的数据在这些报告或证书中给出了不确定度5、来源于手册、研究论文和实验报告等参考数据所给出的不确定度（这些数值不是真值）B类不确定度的评定中，如何使用所得到的信息，要求有一定的经验以及对信息有通彻的了解。讨论：标准不确定度的B类评定，与A类评定谁更可靠更准？标准不确定度的B类评定B类不确定度评定的信息来源第12页B类标准不确定度的具体评定方法：1、已知扩展不确定度U是标准不确定度的k倍时：前述的不确定度信息来源中，有时信息是以“扩展不确定度U是标准不确定度的k（包含因子）倍”给出，把扩展不确定度U除以已知的包含因子k即可得到B类标准不确定度。如：当前对热电偶、色温度仪器、核素活度计、发光强度计、维氏硬度计、圆锥量规锥度仪器等在其检定系统中明确规定按k＝3给出扩展不确定度U；对超声功率计、黑白密度计、橡胶硬度计等，明确规定按k＝2给出扩展不确定度U。例：校准证书表明标称值为1000g的标准砝码的质量为1000.000325g,且其扩展不确定度按3倍标准偏差计，为240μg,这样可知：u=U÷3=240÷3=80μg标准不确定度的B类评定第13页属于类似已知信息的一种特例：当前还有不少测量仪器仍沿用50年代以来的习惯，用σ的倍数来表示校准结果的可靠程度。例如：1）射频与微波功率计、脉冲参数计量仪器、真空测量仪器等习惯用3σ来表示校准结果的可靠程度；2）燃烧热测量仪器、电导流量仪器、水流量测量仪器等习惯用2σ来表示校准结果的可靠程度。3）液体闪烁放射性活度测量仪器、质量测量仪器等，给出置信概率为99.73%的情况下，由于原假设为理想的正态分布，故其含义实际为3σ。碰到这种情况，只要除以相应的系数后得到单倍的σ，并令：u=σ即可，但要注意将其系数判断清楚。标准不确定度的B类评定第14页2、已知扩展不确定度UP(常用U95和U99）：扩展不确定度UP的下标p表示的是扩展不确定度U的置信概率。置信概率还和分布的类型有关，如果没有特殊说明，则按正态分布考虑。这时相对应的包含因子k与置信概率p的对应关系为：p=95%时k=1.96，扩展不确定度符号：U95p=99%时k=2.576，扩展不确定度符号：U99因此，知道了置信概率p就相当于知道了相应的包含因子k的值。当已知信息不但包括扩展不确定度UP（例如U95和U99）。而且还给出了自由度ν，这时如果没有特殊说明，则按t分布考虑，需按给定的置信概率p和给定的自由度ν查t分布表来得到相应的包含因子k的值，该值与相同置信概率下的正态分布的k值不同。（大于正态分布的k值）标准不确定度的B类评定第15页t分布临界值表第16页第17页t分布临界值表第18页t分布临界值表第19页标准正态分布函数表2201()2zzzedtzΦ(z)zΦ(z)zΦ(z)zΦ(z)0.000.00000.750.27341.500.43322.500.49380.050.01990.800.28811.550.43942.600.49530.100.03980.850.30231.600.44522.700.49650.150.05960.900.31591.650.45052.800.49740.200.07930.950.32891.700.45542.900.49810.250.09871.000.34131.750.45993.000.498650.300.11791.050.35311.800.46413.200.499310.350.13681.100.36431.850.46783.400.499660.400.15541.150.37491.900.47133.600.4998410.450.17361.200.38491.950.47443.800.4999280.500.19151.250.39442.000.47724.000.4999680.550.20881.300.40322.100.48214.500.4999970.600.22571.350.41152.200.48615.000.49999990.650.24221.400.41922.300.48930.700.25801.450.42652.400.4918例：校准证书说明标称值为10Ω的标准电阻R在23℃时为10.000724Ω±129μΩ，并说明“给定值±扩展不确定度所给出的区间具有99％置信概率”，求R的标准不确定度。解：p=99%时的包含因子k=2.576故电阻R的B类标准不确定度u=U99÷k=129÷2.576=50μΩ•仪器出厂后或校准后国家规定都有法定有效期，过了法定有效期的仪器必须请资质部门重新校准才有效；•目前，在校准证书中将都会给出结果的扩展不确定度U95和U99，更完整的校准证书还应同时给出其自由度。标准不确定度的B类评定第20页例：计量部门给出的检验证书上给出标称值为5㎏砝码的质量为m=5000.078g,并给出扩展不确定度U95=48㎎,有效自由度νeff=35,求m的标准不确定度。解：由p＝95%和νeff=35查t分布表，得t95(35)=2.03,故电阻R的B类标准不确定度u=U95÷t95(35)＝48÷2.03=24mg注意：没给出自由度时按正态分布考虑，例p＝95%时k＝1.96；给出自由度时按t分布考虑具体k值须查t分布表。标准不确定度的B类评定第21页3、给出置信区间的上下限的情况：已知信息表明:在x±a区间内包含了X全部可能值，这种情况实际上可以理解为给出了最大误差限，或给出了极限误差。则根据极限误差的分布特征确定B类标准不确定度。例如：手册上给出纯铜在20℃时的线膨胀系数α20为16.52×10-6℃-1,并说明此值变化的区间不超过0.40×10-6℃-1。根据此有限的信息，可以认为手册所给出的α20的置信区间的上限a+和下限a–相同，均为0.40×10-6℃-1，也就是可以认为α20的值，等概率地落在(16.52±0.40)×10-6℃-1范围内的概率为100％，而落在该范围外的概率为零。将线膨胀系数α20取为16.52×10-6℃-1，这时其B类标准不确定度如何确定？α20的分布是什么分布？α20的分布可认为是均匀分布，其半宽度