六、经典极限

六、经典极限据薛定谔方程有：若可看成小量，并设等，则上方程中不含的部分有与分析力学的Hamilton-Jacobi方程相同，其中是Hamilton的主函数。因此，薛定谔波力学在极限下给出经典力学。若将S解释成Hamilton的主函数，对不含时Hamilton量，主函数S具有可分离的形式，称为Hamilton的特征函数。随着时间的变化，等S面的空间演化与波动光学中的常相位面即波前变化相同.2222221.2iiSSSVmiSitt22SS210,2SSVmt,Sxt0,SxtWxEtWx九、完整的WKB解对区,有对不满足。上述解不成立,需要将上述两解以适当方式连接。标准步骤是：1．在附近将V(x)线性化。2．解微分方程得与阶Bessel函数相关的严格解。该解适用于x0附近3.该第三个解需通过选择合适的积分常数与另两解匹配这里不讨论这些步骤的细节而只给出结果：波函数在EV(x)区振荡，在EV(x)区指数衰减。0EV14tan1,exp2xconstiEtxtdxmVEVE,VE,00xVxE0202220EExxdumdVxxudxdx132/dVEVdx匹配条件I与II区：II与III区：由波函数的唯一性意味，有自洽性(量子化)条件：除部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同11411exp2xxdxmVEVxE11421cos24xxdxmEVxEVx21411exp2xxdxmVxEVE21421cos24xxdxmEVxEVx21122xxdxmEVn12十、量子化条件应用举例势阱中粒子的近似能级经典转折点为：由于无限高势垒，解在x0区必为0.对x0区的解，可通过求解修正势,的奇对称解得到该问题的WKB转折点为,量子化条件变为即与本征能态的严格解：非常接近(近似解略低于严格解，误差随能级的增高而变小)（-λ是Airy函数为零的根）x0x0{mgxV120,Exxmg,Vxmgxx12,EExxmgmg/12/2()()EmgoddEmgdxmEmgxn/1402()()EmgdxmEmgxn2312231342nnEmg1223132nnEmg量子化条件V(x1)=V(x2)=E波函数的节点越多，对应的能级越高对V(-x)=V(x),u(-x)=±u(x);n:偶数-偶对称（u’(0)=0），n：奇数-奇对称（u(0)=0）21122xxdxmEVn]4)]'([2'1cos[)]([1~)(14/1xxExVEmdxxVExu十一、遂穿几率000exp2exp(/2)exexixxdximVEx1/20[2()]/vmEVm由WKB解知：粒子速率：碰撞频率：f=v/2x0遂穿几率：1/200[2()]2mEVRemx两个实用基本定理1.一维束缚态无兼并2.（实）哈密顿本征空间波函数总可选为实函数2.6传播子和Feynman路径积分一、波动力学的传播子不含时哈密顿量体系的时间演化，可以用与H对易的观测量的本征矢展开初态即可求得：或其中，a'0iE(tt)/0000a'iH(tt)/|α,t;te|α,t|a'a'|α,te'0iE(tt)/0'0'a'ψ(x',t)',;(t)(')eaaaxttcux'a|'x)'x(u'a3'0003*'0(t)'|,t''|''|,t'(')(',t)aacadxaxxdxuxx将上述表达式改写成：即这里称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。可见：1)波函数的时间演化由K确定(波动力学是纯粹的因果理论);2)波函数的时间变化与经典力学物理量一样完全确定。3)不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函数之一。该转化或“投影”呈概率性，但统计几率确定。'0'0'0()/00'()/30'()/30'|,;|''|,'|''|''|,'|''|'(',)aaaiEttaiEttaiEttaxttxaatedxxaaxxtedxxaaxxte)t,'x()t,'x;t,x(K'xd)t,x(003'0()/0'(,;',)|''|'aiEttaKxtxtxaaxe二、传播子的基本性质1.传播子满足含时薛定谔波动方程（,tt0为变量，不变）：2.（即）这两性质说明传播子可看作是t0时处于的粒子在t时刻的波函数（）初态有空间分布时，则将初态波函数乘以传播子并对空间积分，与静电学求电势相似（但K有“相位”）：3.传播子是含时波动方程的格林函数：和边界条件（对tt0）.0(,;',)Kxtxtx'x,t0|'xx030tlim(,;',t)(')tKxtxxx'x|e|x)t,'x;t,x(K/)tt(iH00'x|'xx|)'x('xd)x(32200(,;',t)[''('')](,;',t)2iKxtxVxKxtxtm'0()/0'(,;',)|''|'aiEttaKxtxtxaaxe)tt()x'x(i)t,'x;t,x(Kti)x(Vm2030220)t,'x;t,x(K0三、传播子的例子传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。1.一维自由粒子。P与H对易，共同本征态由可得该式可用于研究诸如高斯波包随时间扩散的情形2'|p',p|p'p'|p',''2pHppm/'x'ipe21'p|'x200200'()1'(')(,;')'exp22(')exp2()2()ipttipxxKxtxtdpmmimxxitttt'0()/0'(,;',)|''|'aiEttaKxtxtxaaxe4/120202/')()2'exp()0,'(0ddxexxip2/140222002/12/122/12/12)/1()2/()(,2/)(dmtdddpdx)]2(exp[])/1(2)/1()/(exp[)]([')0,'()0,';,(),(00402222020202/1002/1mtpxipdmtdmdtimtpxmdtiddxxxtxKtx2.谐振子的传播子波函数为其传播子为该式的直接证明非常复杂，需利用特殊函数的性质也可通过a和a+算符方法最方便的是利用即将描述的路径积分方法。由于传播子是以ω为角频率的时间周期函数，位于x’的粒子将在回到原位置。11224/221exp22!nintiEtnnnmmxmuxeHxen'xx2ttcos'xx*ttsin2imexpttsini2m)t'x;tx(K022000222222021expexp2!11nnnnnHHnn2t四、传播子的时间与空间积分空间积分：由于，取并积分相当于求坐标表象中时间演化算符的迹。由于迹不随表象变，在表象中H对角，便于求出G(t)。在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且为正实数，则G(t)演化为，与统计力学的配分函数是有相同形式。因此，研究量子力学传播子的方法对统计力学也有用（反之亦然）。''3//32'''',;',0'|'|'|aaiEtiEtaaGtdxKxtxdxxaee0()/0,;'||'iHttKxtxtxex'xx'a|it/''ZexpaaEG(t)的Laplace-Fourier变换//'00'/exp//iEtiEtaaGEidtGteidtiEte被积函数振荡，积分不易求。令E→E+iε,且ε→0，则可见体系的完整能谱都表现在复E—平面的的极点。研究物理体系的能谱，只需要研究的解析性质'//0000'''0''''/lim/lim11limaxiEEttaaaaaaaiedxGEidteeiEEEEiEE(E)G~(E)G~2.6传播子和费曼路径积分五、传播子作为跃迁振幅波函数是位置左矢与随时间变化右矢的内积，也可被认为是海森堡绘景中反向时间演化的位置左矢与不含时状态右矢之乘积。类似地，传播子可写为这里和是海森堡绘景中位置算符的本征左矢和右矢。因是从到态的跃迁振幅，故是t0时处于的粒子在t时处于的几率振幅。或者说是由时空点到另一时空点的跃迁振幅。另种解释由于海森堡绘景中任一时刻观测量的本征矢都可选作基矢，我们也可称为链接不同时间的两组基矢的变换函数。因此，在海森堡绘景中，时间演化可看作改变基函数的幺正变化。这与经典力学物理量随时间变化可看作由哈密顿量产生的正则变换相似。'00/0'//0'Kx,t;x',t|''|'||''|',|',aiEttaiHtiHtaxaaxexeaaexxtxt,|xt0t,'x|0t,'a|t,'b0t,'a|t,'b|0t,'x|t,x'xx0t,'x|t,x)t,'x(0(,)xt0t,'x|t,x六、传播子的组合性质为使时空坐标记号更对称，记为由于海森堡绘景中在任意给定时间的位置态矢形成完备基，可在任意位置插入单位算符因而该性质称为跃迁振幅（传播子）的组合性质。类似地有：若知无穷小时间间隔的形式，则一般的可利用传播子的组合性质而得。这种推理方式导致了费曼的量子力学理论形式。0t,'x|t,xt','x|t,x3||1dxxtxt't'x|txtx|txxd't'x|tx'tttt||||xtxtdxdxxtxtxtxtxtxtdtttt,x|txt,x|tx七、作为路径求和的路径积分为简单记，讨论一维情型，并记为将t1至tN分为N-1等分，则为讨论该表达式的含义，可看如图所示的时空平面：时空的初始与终点固定，由初始到终点有不同的可能路径。对给定一路径，要计算其跃迁振幅，然后对各种可能路径求和，这与经典力学是有差别的。在经典力学中粒子有确定的轨迹，其路径对应于哈密顿原理所给出的路径（即作用量的变分为零：repeatedNtimesxnx11121