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高中数学课件（金戈铁骑整理制作）1.1.3分类计数原理与分步计数原理（三）一、复习回顾:•两个计数原理的内容是什么?•解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧?练习：三个比赛项目，六人报名参加。１）每人参加一项有多少种不同的方法？２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？7293665412036216例1用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?一、排数字问题1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种引申:１号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只有１种填法。所以共有3*3*1=9种不同的方法。二、映射个数问题:•例2设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射?三、染色问题:•例3有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.•(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?•(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n•①③①•④③④•②②•(1)(2)２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？答:它们的涂色方案种数分别是0、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180种等。思考：３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有种。ABCD分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3×2＝120种方法。根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。４、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答）654321（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求6、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）425、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？四、子集问题规律：n元集合的不同子集有个。12{,,...,}nAaaa2n例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。五、综合问题:•例4若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?２、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:由于75600=24×33×52×7(1)75600的每个约数都可以写成的形式,其中,,,lkjl753240i30j20k10l于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=1×2=2条第二类,m2=1×2=2条第三类,m3=1×2=2条所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6条。3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）对A.12B.24C.36D.48B5.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=2×3=6种不同的走法;第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以m2=4×2=8种不同的走法;所以从甲地到丙地共有N=6+8=14种不同的走法。