高考中的解析几何(解答题、难)

1解析几何解析几何型解答题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解时除了运用设而不求，整体思维外，还要用到平面几何的基本知识和向量的基本方法，解题过程始终围绕如何简化运算展开；有些问题用常规方法解答，运算往往比较复杂，此时若能以形助数，运用平面几何以及向量的方法，则会大大简化解题过程.函数与方程思想，在解析几何中也常用到.一、求标准方程、求值典例1：已知椭圆)0(1:2222babyaxC的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线0122yx与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C的方程；（2）设点DCB,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称.设直线OCOBCBCD,,,的斜率分别为4321,,,kkkk，且4321kkkk.①求21kk的值；②求22OCOB的值.2典例2：已知抛物线)0(2:2ppxyE上一点)4,(0xM到焦点F的距离045xMF.(1)求E的方程；(2)过F的直线l与E相交于BA,两点，AB的垂直平分线l与E相交于DC,两点，若0ADAC，求直线l的方程.变式练习1：已知椭圆)0(1:2222babyaxG的两个焦点分别为21,FF，其离心率为23，椭圆G上一点M满足021MFMF，且21FMF的面积为1.（1）求椭圆G的方程；（2）过椭圆G长轴上的点)0,(tP的直线l与圆1:22yxO相切于点Q（P与Q不重合），交椭圆G于BA,两点，若BPAQ，求实数t的值.3二、定点、定值问题典例1：已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为23，),0,0(),,0(),0,(ObBaAOAB的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：BMAN为定值.典例2：已知抛物线)0(2:2ppxyE的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于TS,两点，以)0,3(P为圆心的圆过点TS,，且90SPT.（1）求抛物线E和圆P的方程；（2）设M是圆P上一点，过点M且垂直于FM的直线l交E于BA,两点，证明：FBFA.4典例3：已知抛物线)0(2:2ppxyC过点)2,(mM，其焦点为2,MFF.（1）求抛物线C的方程；（2）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆1)1(:22yxF相切，切点分别为BA,，求证：直线AB过定点.变式练习1：已知焦距为32的椭圆)0(1:2222babyaxC的左焦点为1F、上顶点为D，直线1DF与椭圆C的另一个交点为H，且HFDF117.（1）求椭圆的方程；（2）点A是椭圆C的右顶点，过点)0,1(B且斜率为)0(kk的直线l与椭圆C相交于FE,两点，直线AFAE,分别交直线3x于NM,两点，线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k，求证：kk为定值.5变式练习2：已知椭圆)0(1:22221babyaxC的离心率为23，)1,2(P是1C上一点.（1）求椭圆1C的方程；（2）设QBA,,是P分别关于两坐标轴及原点的对称点，平行于AB的直线l交1C于异于QP,的两点DC,.点C关于原点的对称点为E.证明：直线PEPD,与y轴围成的三角形是等腰三角形.6三、最值问题典例1：平面直角坐标系xOy中，椭圆012222babyaxC：的离心率是23，抛物线yxE2:2的焦点F是C的一个顶点。（1）求椭圆C的方程；（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点BA,，线段AB的中点为D。直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M。①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记ΔPFG的面积为1S,ΔPDM的面积为2S，求21SS的最大值及取得最大值时点P的坐标。典例2：已知双曲线1,20,012222PbabyaxT经过点：，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.（1）求双曲线T的方程；（2）过点P作两条相互垂直的直线PBPA,分别交双曲线T于BA,两点，求点P到直线AB距离的最大值。7典例3：已知抛物线0122yxPpyx处的切线方程为上点.（1）求抛物线的方程；（2）设2211,,yxByxA和为抛物线上的两个动点，其中42121yyyy且，线段AB的垂直平分线l与ABCCy，求轴交于点面积的最大值。变式练习1：已知抛物线4)2(:),0(:222yxCmmxyE圆，点F是抛物线E的焦点，点)0,0(),,(0000yxyxN为抛物线E上的动点，点)21,2(M，线段MF恰被抛物线E平分。（1）求m的值；（2）若作切线向圆过点CNy,40，求两条切线与x轴围成的三角形面积的最小值。8变式练习2：已知椭圆)20(14:222bbyxC的离心率为23，与坐标轴不垂直且不过原点的直线1l与椭圆C相交于不同的两点BA,，过AB的中点M作垂直于1l的直线2l，设2l于椭圆C相交于不同的两点DC,，且CDCN21.（1）求椭圆C的方程；（2）设原点dlO的距离为到直线1，求MNd的最大值。变式练习3：如图，抛物线)1,0()0(2:2FppyxC的焦点为，取垂直于y轴的直线与抛物线从左至右依次交于不同的两点21,PP，过21,PP作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且QPQP21.（1）求抛物线QC和圆的方程；（2）过点lF作直线，与抛物线NBAMQC,,,依次交于和圆,求ABMN的最小值。9四、范围问题典例1：设椭圆Fayax的右焦点为)3(13222，右顶点为A.已知FAeOAOF311，其中O为原点，e为椭圆的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设过点lA的直线与椭圆交于点)(轴上不在xBB，垂直于l的直线与l交于点M，与HFBFHy，若轴交于点，且MAOMOA，求直线l的斜率的取值范围。典例2：已知椭圆)0(12222babyaxC：的离心率为22，过点）（0,1M的直线交椭圆BAC,与两点，MBMA，且当直线l垂直于x轴时，2AB.（1）求椭圆C的方程；（2）若221，，求弦长AB的取值范围。10变式练习1：已知椭圆)0(12222babyax的离心率为21，且经过点）（23,1P，过它的两个焦点21,FF分别作直线121lll，与交椭圆于212,,llDClBA两点，且交椭圆于两点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形SABCD的面积的取值范围。11五、轨迹问题典例1：设圆015222xyx的圆心为A，直线轴不重合）且与（过点xBl0,1，DCAl,于交圆两点，过EADACB于点的平行线交作.（1）证明EBEA为定值，并写出点E的轨迹方程；（2）设点E的轨迹为曲线1C，直线两点于交NMCl,1，过lB且与垂直的直线与圆两点，交于QPA，求四边形MPNQ面积的取值范围。典例2：已知点）（0,1F是直线1:1xl上的动点，过A作直线212lll，，线段PlAF交于的垂直平分线与2.（1）求点的方程的轨迹CP；（2）若点上两个不同的点，是直线1,lNM且PMN的内切圆方程为122yx，直线PF的斜率为k，求MNk的取值范围。12变式练习1：已知动点P到直线1:xl的距离等于它到圆014:22xyxC的切线长到切点的距离）（P.记动点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）点Q是直线l上的动点，过圆心QCC作的垂线交曲线BAE,于两点，这DAB的中点为，求ABQD的取值范围。变式练习2：已知圆心为BAxyxH,0,1015222）（和定点的圆是圆上任意一点，线段lAB的中垂线和直线BMBH，当点相交于点在圆上运动时，点CM的轨迹记为曲线.（1）求C的方程；（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于QFPEFEQP，求和,,的取值范围。13六、探究定点问题典例1：设)0(14:22221bbyxEFF分别是椭圆、的左、右焦点，若EP是椭圆上的一动点，且121的最大值为PFPF.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线1kyx与椭圆xABAE关于两点，点交于,轴的对称点为)(不重合与BAA，则直线xBA与轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。典例2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为），（，点22)0,2(1BF在椭圆C上，直线两点交于与椭圆FECkkxy,)0(，直线NMyAFAE,,轴交于点分别与.（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直线的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由。14变式练习1：已知圆9)1(:1)1(:2222yxNyxM，圆.定圆MP与圆外切并圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）若直线两点交于与曲线SRCxky,)1(，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有OTROTS？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。变式练习2：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线xy42的焦点重合.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，经过CA作椭圆的两条动弦ACAB,，若直线41,斜率之积为ACAB，直线BC是否一定经过一定点？若经过求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。