3-6图形及3-7曲率

第一充分条件:0()Ux在内可导,,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf极值的必要条件:0()fx若是函数f(x)的极值,则0()0fx或0()fx不存在.极值的充分条件(3))(xf“不变号”,0()fx则不是极值设函数f(x)在上连续,00()Ux§3.5内容回顾第二充分条件:二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.第三充分条件,0)(0)(xfn则:数,且1)当为偶数时,n是极小点;是极大点.2)当为奇数时,n为极值点,不是极值点.是拐点.不是拐点.(拐点的第二充分条件):•当在区间I上连续且只有一个极值点时,•当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)•对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)闭区间上连续函数的最值:…一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘§3.6函数图形的描绘第三章1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线.byx若则曲线有铅直渐近线.0xx0xx一、曲线的渐近线x0xx2.斜渐近线斜渐近线(0).ykxbk(,)xx或若)(bxk()limxfxkxlim[()]xbfxkx(,)xx或(,)xx或(P75题13)二、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.作图为0和不存在的点;并考察其对称性及周期性;(2)画出渐近线(3)描点:首先是表中的特殊点(4)结合单调性与凹凸性及渐近线分段连线作图(必要时补充一些关键点)(1)画出坐标系(适当确定两轴的单位)例1.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2),22xxy,22xy,0y令,0y令3)xyyy012)0,()1,0()2,1(),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)01231无渐近线,补充点(-1,2/3)、(3,2)5)描点作图例2.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y轴.2)y21,22xexy2122xe)1(2x得令0y;0x得令0y1x2100e21xyyy10)1,0(),1(3)(极大)(拐点)(极大)(拐点)0limyx0y为水平渐近线5)作图4)求渐近线2100e21xyyy10)1,0(),1(2221xeyxyoB12例3.描绘函数24(1)()2xfxx解1).:0,Dx非奇非偶函数,且无对称性.34(2)2).(),xfxx48(3)().xfxx()0,fx令2,x得()0,fx令3.x得的图形.2004(1)lim()lim[2]xxxfxx,0.x得铅直渐近线3).列表x(,3)(0,)(3,2)3(2,0)()fx()fx00()fx2拐点极值点326(3,)94)求渐近线24(1)lim()lim[2]xxxfxx2,2;y得水平渐近线(13,0),(13,0);(1,2),A(1,6),B(2,1),Cxyo232111236ABC补充点:26(3,),9(-2,-3)5)作图：3(4,).4D.D例4.求曲线的渐近线.解:,)1)(3(3xxxy,lim3yx)1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因()limxfxx32lim22xxxx])([limxxfbx3232lim22xxxxx2xy为曲线的斜渐近线.312xy(无水平渐近线)水平渐近线;铅直渐近线;内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2.函数图形的描绘拐点为,凸区间是,),(21)1,(2121e曲线21xey的凹区间是,提示:)21(222xeyx),(2121),(21及渐近线.1yyox1)1,(2121e)1,(2121e单增区间,单减区间.[0,+∞)(-∞,0]22xyxeP7614(2);P1692;5作业曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径MMM§3.7平面曲线的曲率第三章一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(21()yxAB)(xfyabxoyxMxxMy1lim0MMMMx(增函数)MM表示有向弧…的值则弧长微分公式为22d()()dsxytxysd)(1d2或22)(d)(ddyxs若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx又s=s(x)是增函数,则若曲线由极坐标方程表示:22d()ds代入参数方程时的弧微分公式得,请记住三个弧微分公式!!!二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为,s对应切线,定义弧段上的平均曲率ssKMMs点M处的曲率sKs0limsdd注意:直线上任意点处的曲率为0!转角为例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,RssKs0limR1可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.sRMM有曲率近似计算公式,1时当yytan2secd故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyKyK又曲率K的计算公式)(xfy二阶可导,设曲线弧则由两边微分得:2dsecydx221tan1ydxydxy三、曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设M为曲线C上任一点,在点在曲线KRDM1把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使设曲线方程为且求曲线上点M处的曲率半径及曲率中心设点M处的曲率圆方程为故曲率半径公式为KR123)1(2yy满足方程组,222)()(Ryx)),((在曲率圆上yxM)(MTDMyyx的坐标公式.TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式yyyx)1(2yyy21(注意y与y异号)Cyxo),(yxM),(DRT95年考研题：推导曲率中心的坐标公式222)()(Ryx,xyy()xyy222[1]()yyR222()1Ryy322(1)yRy222(1)yyy21yy例2.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为显然,椭圆在oyx处曲率最大,即曲率半径最小,且为则选择砂轮半径不超过3221(1)xayRky(想一想怎样求?)3220(1)yxx0ydxdy0(0)sincosytatbt=0220ydxdy0(0)sin()cosytdatdybt内容小结1.弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2.曲率公式sKdd23)1(2yy3.曲率圆曲率半径KR1yy23)1(2曲率中心yyyx)1(2yyy21(不必记此公式,知道概念、会推导)思考与练习求双曲线的曲率半径R,并分析何处R最小?解:,12xy,23xy则R23)1(2yy234)1(1x32x232)(1221xx利用baba2222.21为最小值显然xR11yox作业P1754；5；7；8；9