23.3.2相似三角形判定最新

定义判定方法全等三角形相似三角形回顾并思考三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似角边角ASA边边边AAS角角边边角边SAS斜边与直角边HL判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？SSS对应角_______,对应边——————的两个三角形,叫做相似三角形.相等成比例相似三角形的————————,各对应边——————。对应角相等成比例∵∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠FEFBCDFACDEAB∴△ABC∽△DEFABCDFE相似比:=kDFACEFBCDEABk=1两三角形全等※1、让我们先从最常见的三角尺开始。30°与60°的直角三角形45°与45°的直角三角形如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？DEF51°82°任意画两个三角形，使三对角分别对应相等，再量一量对应边，看看是否成比例.ABC82°47°47°51°你发现了什么，这两个三角形相似吗？53610612探究1如果两个三角形三组对应角分别相等，那么这两个三角形的对应边一定成比例。知识小结：。如果两个三角形三组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。相似三角形的定义三角形内角和180°如果两个三角形有两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。已知在△ABC和△A′B′C′中.∠A=∠A′，∠B=∠B′求证：△ABC∽△A′B′C′DEA′B′C′ABC用数学符号表示：如果一个三角形的两个角分别与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称：两角对应相等，两三角形相似。∵∠A=∠D，∠B=∠E∴ΔABC∽ΔDEF三角形相似判定定理1：BACEDF※下列图形中两个三角形是否相似？△ABC∽△A'B'C'60°30°ABCC'B'A'小试牛刀※30°100°BCA△ABC不相似于△A'B'C'40°30°A'C'B'※△ABC∽△ADE45°45°EBCAD做题时要注意题目隐含的条件：对顶角相等、公共角.37°37°CDEAB△ABC∽△DEC例2.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证；△ADE∽△EFC.师生互动∴∠ADE＝∠B∠AED＝∠C又∵EF∥AB（已知）∴∠B＝∠EFC∴∠ADE＝∠EFC证明∵DE∥BC（已知）∴△ADE∽△EFC（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）还有其他解法吗？法二∵DE∥BC（已知）∴△ADE∽△ABC又∵EF∥AB∴△EFC∽△ABC∴△ADE∽△EFC“双垂直”三角形BDAC有三对相似三角形：△ACD∽△CBD△CBD∽△ABC△ACD∽△ABC△ADC∽△CBD∽△ABC常用的成比例的线段：常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACD2ACADAB2BCBDAB2CDADDBBDAC练习2、如图1，要使△ABC∽△ACD，只需要条件；3、如图2，要使△ABE∽△ACD，只需要条件；ABCD图1ABCED图2例3、如图已知，∠BAC＝90°，BD＝CD，DE⊥BC交AC于E，交BA延长线于F.求证：DA2＝DE·DF证明：∵∠BAC＝90°,BD＝CD∴AD＝CD∴∠C＝∠DAC∵DE⊥BC∴∠B＋∠F＝90°又∵∠B＋∠C＝90°∴∠F＝∠C＝∠DAC由于∠EDA为公共角∴△FDA∽△ADE∴DF:DA＝DA:DE∴DA2＝DE·DFBFADCE例4、如图,E是平行四边形ABCD的CD边上一点,连结并延长AE交BC的延长线于点F.求证:FEDCBAAD∙AB=FB∙ED观察图23．3．10，如果有一点E在边AC上移动，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？E图23.3.10图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为．将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝AC时，△ADE与△ABC似乎相似．此时31ABAD=_____．31边角边SAS探究2已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC1111,ABBCkABBC求证：∠B=∠B1.你能证明吗？※如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么它们相似吗？类比全等SAS已知在△ABC和△A′B′C′中.∠A=∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′DEA′B′C′ABC''''CAACBAAB如果相等的角不是成比例两边的夹角，那么这两个三角形还相似吗？ABCDEF∴△ABC∽△DEF∵∠B=∠E如果一个三角形的两条边分别与另外一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简称：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.。三角形相似判定定理2：用数学符号表示：2、如图，D在△ABC的AB边上，AD=1,BD=2,AC=.问：△ACD与△ABC相似吗？3ABCD1、依据下列各组条件，证明△ABC和△A′B′C′相似.∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30．ABCD4、如果AF·AC=AE·AB,那么相似三角形有多少组？分别是？BCDEFA3、如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，根据下列条件，可证明△ABC∽△ACD的是（）A.AC·AB=AC·CDC.AC2=AB·ADB.BC·AD=CD·ACD.CD2=AD·BDC2．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()1．如图，在▱ABCD中，点E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是()A.1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶53.如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥BC.则图中与△CDE相似的三角形一共有()个.ABCDE4.如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°，AB＝BE＝EF＝FC.求证：△AEF∽△CEA.5.如图,已知DC∥AB,AC、BD相交于点O,AO=BO,DF=FB.求证：DE2=EC·EODCABOEF6.如图,在正三角形ABC中,点E是边AB的中点,点D是边AC的一个靠A端的三等分点.求证：△ADE∽△CDB.如果两个三个形两边对应成比例，增加三边对应成比例，这两个三个形相似吗？做一做：在图23．3．13的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？图23.3.13边边边SSS已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC111111.ABBCACABBCAC求证：有效利用判定定理一去求证。探究1证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E根据前面的定理可得.11AB1ADAB11DEBC∥11AC1111ADEABC∽A1B1C1ABCDE11111111ADAEDEABBCAC1111111,ABBCACADABABBCAC1AEAC,DEBC111ABCABC∽1ADEABC≌∴又A1B1C1ABCDE∴111111111,AEDEBCACBCBCACAC∴∴（SSS）1111ADEABC∽∵∴如果两个三角形的三组对应边的比相等（成比例），那么这两个三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A1B1C1.111111,ABBCACABBCAC即：如果那么A1B1C1ABC三边对应成比例，两三角形相似。边边边SSS√ABBCACADDEAE，求证：∠BAD=∠CAE。ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE小练习已知：解：∵ABBCACADDEAE，1.如图，在边长为1个单位的方格纸，有两个△ABC和△DEF,请问这两个三角形是否相似？为什么？ABCEDF2.AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF3.过△ABC(∠C∠B)的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？CD●ＡＢBCADEEBCAD△ADE∽△ABC△AED∽△ABC∠A=∠A∠AED=∠C∠A=∠A∠AED=∠B作DE，使∠AED=∠C作DE，使∠AED=∠B这样的直线有两条：课堂小结1.相似图形---三角形的判定方法：通过定义平行于三角形一边的直线三边对应成比例两边对应成比例且夹角相等两角对应相等两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角对应相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）4.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形。CDABEFO3△EOF∽△CODAB∥EF△AOB∽△FOEAB∥CDEF∥CD△AOB∽△DOC5.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。6.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3cm，A′B′=4cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。7.若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm，那么A′B′C′的最大边长是________。全等4︰324cm8.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。ABCDEFGHI△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1:4例5、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．（画出满足题意的图形）DBPECADBPECA拓展延伸F