有限元分析法第3章 杆单元

第三章杆单元第三章杆单元3-1一维等截面杆单元杆单元3-2二维空间杆单元如何用直接法求杆单元特性？如何用公式法导出杆单元特性？什么是虚功原理？杆单元刚度矩阵的特点？什么叫坐标变换？如何对节点位移向量进行坐标变换？如何对刚度矩阵进行坐标变换？应用举例第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元jiuud单元节点位移：L—杆长A—截面积E—弹性模量考虑一个2节点一维等截面杆单元：jifff单元节点力：第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元应力—应变关系：dxduE)()()(xxxuu——杆单元位移——杆单元应变——杆单元应力应变—位移关系：第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元（一）直接法导出单元特性杆单元伸长量：ijuu应变：L应力：LEE杆内力：kLEALEAAF杆的轴向刚度：LEAk（一）直接法导出单元特性杆单元伸长量：ijuu第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：jijijiuuLEAuukkkkff1111LEAk第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元（二）公式法导出杆单元特性单元上假设近似位移函数——位移模式定义节点的插值函数（形函数）：对杆单元，引入局部坐标：单元上位移假设为简单多项式函数：xaau10有限元中用插值法通过节点位移（待定参数）定义单元假设位移函数：第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元则单元假设位移函数——位移模式如下：矩阵形式：NdjijiuuNNu单元应变：BddNdxddxdu——单元应变矩阵BLLNNdxdji/1/1)()(B单元应力：BdEE应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。NdjijiuuNNu第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元虚功原理虚位移弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能。——平衡条件对于杆单元，定义虚位移如下：jiuud节点虚位移：单元虚位移：dNu节点力（外力）虚功：fdT则单元虚应变：dB)(udxd第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元单元虚应变能：dBBdBdBdTdVEdVEdVVVVTTTT对杆单元应用虚位移原理，得：ddBBdfdTdVEVTT考虑到的任意性，立刻得到：kddBBfTdVEVVdVEBBkT这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。——杆单元刚度矩阵第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元对于上面的杆单元：与前面直接法得到的公式相同！第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元（三）关于杆单元的讨论1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有2个自由度。2）单元刚度矩阵元素的物理意义：刚度方程中令：则：01jiuu2111kkffjijijiuukkkkff22211211单元刚度方程第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加在单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素，试练习）３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元（四）举例求图示２段杆中的应力。解：分２个杆单元，单元之间在节点２铰接。刚度矩阵分别为：第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元参考前面弹簧系统的方法，装配系统的有限元方程（平衡方程）：321321110132022FFFuuuLEA引入边界位移约束和载荷：系统方程化为：31200110132022FPFuLEA第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元上述方程组中删除第１，３个方程，得到：位移解：0103321EAPLuuu单元1应力：APEAPLLELuuELEE3031211131200110132022FPFuLEA解得：第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元单元2应力：APEAPLLELuuELEE33023222提示：1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式的结果相同。2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。BdEE第三章杆单元§3–1一维等截面杆单元习题2：已知：求：杆两端的支反力解第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元（一）2-D空间中杆单元（平面桁架）1-D空间杆单元2-D空间杆单元坐标变换第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系局部总体每节点一个dof每节点2个dofiiuv（，）iivu,(,)xyYX,第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元节点位移向量的坐标变换：iidTd~第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元向量的坐标变换矩阵为：lmmlT~T~~TT1显然是正交阵，即：单元节点位移向量的变换式如下：或TddT00TT~~单元节点力的变换为：Tff第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元刚度矩阵的坐标变换局部坐标系下杆单元的刚度方程为：扩充到4自由度形式：yjxjyixijjiiffffvuvuLEA0000010100000101fdk写成矩阵符号形式：TddTff第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元利用前面的向量坐标变换式，得：TfTdk考虑到变换矩阵的正交性，得：fTdkTT总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为：TkTkTTfTdkfkd用单元刚度矩阵装配系统刚度矩阵的方法与1-D情况相同，按节点号对子块重新排列。第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元单元应力：即：第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元（二）例题平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：1）节点2位移2）每根杆应力解：求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元单元1：1-22245ml，1111TkTkT111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT2211vuvu第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元单元2：2-32222135ml，，22T22TkTk111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT3322vuvu第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶），相加后引入节点平衡条件：第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元再引入边界约束和载荷：则上面6阶有限元方程凝聚为：212220022PPvuLEA解出未知位移得：2122PPEALvu第三章杆单元§3–2二维空间中的杆单元按公式计算杆应力：得：)(220011112221211PPAPPEALLE)(220011112221212PPAPPEALLE