有限元法2011-概述

非线性有限元基础北京交通大学机械与电子控制工程学院主讲教师：张乐乐Email：[e-mail]：51684839Office：机械实验馆311专题概述线性弹性有限元法应力的状态分析与张量记法材料非线性问题几何非线性问题双重非线性问题边界（接触）非线性有限元法ANSYS软件应用非线性有限元基础我们的资源主要教材：蒋友谅著《非线性有限元法》凌道盛编著《非线性有限元及程序》非线性有限元基础我们的资源参考书籍：《简明有限元法》，张允真编，辽宁科学技术出版社，1984年9月《连续体和结构的非线性有限元》，庄茁译，清华大学出版社，2001年12月《非线性有限元分析》，张汝清詹先义，重庆：重庆大学出版社，1990《非线性有限元》，吕和祥蒋和洋，北京：化学工业出版社，1992《弹性和塑性力学中的有限单元法》，谢贻权何福保，北京：机械工业出版社，1987。非线性有限元基础考试，占成绩的50％作业：相关内容的推导与自学笔记，占成绩40％平时测评：10％非线性有限元基础第1讲概述非线性有限元基础1.1有限元方法概述1.2求解过程1.3基本概念1.4一个简单的一维实例工程问题的解决方案工程问题一般是物理情况的数学模型解决方案是对实际问题进行数学模型的抽象和求解的过程1.1有限元法概述第1讲概述解析解与数值解解析解表明了系统在任何点上的精确行为数值解只在称为节点的离散点上近似于解析解1.1有限元法概述（续）第1讲概述10有限元分析（FEA）是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。历史典故•结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。•有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。1.1有限元法概述（续）第1讲概述有限单元法（FEM）将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似差值函数已表示单元中场函数的分布规律。利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度问题化为离散域中有限自由度问题。1.1有限元法概述（续）第1讲概述有限元方法的3种解法位移法力法混合法1.2求解过程第1讲概述求解的一般步骤结构的离散化选择位移模式建立平衡方程求解节点位移计算单元中的应力和应变1.2求解过程（续）第1讲概述将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的单元体仅在节点处相连接，而以如此单元的结合体去代替原来的结构。划分单元、简化约束、移置载荷单元、网格、节点1.2求解过程－离散化第1讲概述首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式eNf}]{[}{1.2求解过程－位移模式第1讲概述位移函数、形函数、节点位移向量应变－位移关系、应力－应变关系eeBDB}]{][[}{}]{[}{可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位移之间的关系式，即结构的平衡方程][]][[pk1.2求解过程－建立平衡方程及求解第1讲概述将线性代数方程组代入边界条件后，经解算可求得所有未知的结点位移。依据求得的结点位移，可求得单元中任一点的应变和应力eeBDB}]{][[}{}]{[}{1.2求解过程－单元分析第1讲概述21几何体载荷物理系统结构热电磁1.3基本概念－物理系统实例第1讲概述22真实系统有限元模型有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。1.3基本概念－有限元模型第1讲概述23自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs结构位移热温度电电位流体压力磁磁位方向自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ1.3基本概念－自由度第1讲概述24节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷1.3基本概念－单元和节点第1讲概述25信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递...AB........AB...1node2nodes1.3基本概念－单元和节点（续）第1讲概述26节点自由度是随连接该节点单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ1.3基本概念－单元和节点（续）第1讲概述27FEA仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。1.3基本概念－单元形函数第1讲概述28真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近(不理想结果).2节点单元DOF值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果)..41.3基本概念－单元形函数（续）第1讲概述直杆受自重作用的简单拉伸问题1.4一维实例－问题描述第1讲概述][}{][][}]{[)(11111iiexxxxxxxxeiluuiuuNNuxxuuiiiiiiiii就整个直杆来说，位移函数U(x)是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布，即：1.4一维实例－位移函数第1讲概述有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式：iiiiiiluuEixixluudxduixE)(111.4一维实例－单元应变和应力第1讲概述2)()()(2)(11111iiiiiiiiiillqluuEAluuEAllq第i个结点上承受的外载荷1.4一维实例－外载荷第1讲概述TqaaEAaEAaEAuuupkuuqauuuqauu][}{][]][[)()2()2(43224343232假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点2，3，4列出的平衡方程为：1.4一维实例－计算第1讲概述110121012][]2/[}{aEATkqaqaqapEAqaEAqaEAqauuu222294283252联立求解方程组得：