有限元法在中厚板研究中的应用

有限元法在中厚板壳结构研究中的应用•1.中厚板壳有限元发展现状•2.中厚板壳理论•3.中厚板壳有限元法板壳结构具有厚度小、质量轻、耗材少、性能好的特点，被广泛应用于航空、航天、核工业及其他工程领域中。板壳问题的研究常常采用有限元数值解法，具有分析薄板壳、中厚板壳、多层复合板壳的线性及非线性问题的能力，但在壳体与实体单元的连接方面存在不便。1.中厚板壳有限元发展现状板结构的分析起源于18世纪，Euler最先探索板的弯曲问题。但是，直到1850年，Kirchhoff才给出第一个完善的板弯曲理论。板壳可分为薄板壳和厚板壳两类。在工程应用上，一般将0.01~0.0125t/l或t/r0.125~0.2(t为板壳的厚度，l为板长或宽的最小尺寸，r为壳的曲率半径)称为薄板壳，将t/l或t/r0.2的板壳称为中厚板壳或厚板壳。对于小挠度薄板(或古典薄板)，经典的理论是Kirchhoff板弯曲理论，该理论作了如下假设:a.直法线假设一薄板变形后原垂直于中面的法线仍保持直线,且仍垂直于中面；b.板的中面没有变形；c.垂直于中面的应力分量较小可略去。通过上述假设,小挠度的薄板问题就转化为二维问题。在经典的板壳理论(Kicrhhoff理论)的基础上引入横向剪切变形，因位移和转角并非独立插值，位移插值函数具有C1连续性,而构造C1连续的板壳元十分困难。自20世纪60年代以来，提出了各种连续单元，如21自由度的三角形单元、采用凝缩技术的四边形单元、混合有限元等。从20世纪70年代以来，提出了各种C0型的板壳元，如相对自由度壳元、杂交元、Mnidlin板单元、退化壳元等，其中Mnidlin板单元及基于三维实体的退化壳元最为成熟，在工程分析中得到广泛的应用。2.中厚板理论在中厚板理论中，应用最广泛的是E.Reissner理论。E.Reissner对中厚板理论作了一定的假定，并基于此运用广义余能的变分原理推导了考虑剪切变形板的方程与边界条件。基本假定：（1）应力沿板厚线性分布板受力示意图xyxy、、考虑厚度为h、受面载荷p(x,y)的弯曲板，取一微元体，其受力如图所示。建立平衡方程式中：Mx，My—作用在中面上每单位长度的弯矩；Mxy，Myx—作用在中面上每单位长度的扭矩；Qx，Qy—作用在单位长度板截面上的横向剪力。0,(,)0()0,0()0,0yxyxxxxxyyyyQQZpxyxyMMMQxxMMMQxy根据应力沿板厚呈线性分布的假设及相关推导得到应力分量和内力的关系：333121232212[()()]433xxyyzMzhMzhzzphh3221232[1()]232[1()]2xyxyxxzyyzMzhQzhhQzhh（2）横向剪力引起的变形不能忽略板的平均挠度和转角设板的平均挠度为ω，板中面法线绕-y轴及绕x轴的平均转角分别为βx，βy。ω,βx，βy按能量观点来定义，即令弯矩、扭矩和横向剪力在平均转角和平均挠度上所做的功等于应力在位移Ux，Uy及W上所做的功。即222222()hhxxxxhhxyyxyyhhxzxUdzMUdzMWdzQ222222()hhyxxyxxhhyyyyhhyzyUdzMUdzMWdzQ推导得到：由于位移Ux,Uy与边界上法向位移Un,切向位移Us满足式中:θ—x轴与边界法向n的夹角。232232222121232[1()]2hhxxhhyyhhUzdzhUzdzhzWdzhhcossinsincosxnsynsUUUUUU若定义边界上n，s方向的平均转角βn，βs为则2322321212hhnnhhssUzdzhUzdzhcossinsincosxnsyns引入上述板中面法线平均转角的概念,实际上就是认为板中面的法线在变形后仍保持直线,转动了角度βx、βy,但此时的法线己不再垂直于板的中面,即,xyxy基本方程三维弹性体的余能表达式为其中第一部分的积分为在体积V上的积分,第二部分的积分为在边界上表面凡的积分,且边界上的应力σn,τns,τnz与边界上的内力Mn,Mns,Qn的关系如下:22222212()[()]22(1)[]xyzxyxzyznnnssnzFuVxyxzyzdxdydzUUWdsdzE233121232,[1()]2nnsnnnsnzMMQzzzhhhh，得到考虑剪切变形板的余能表达式上式中,面积分部分是板的余变形能,其中第一、第二项是薄板理论的余变形能,第三项是横向剪力引起的余变形能,第四项是正应力σx,σy与沿板厚方向的变形相互影响引起的余变形能,第五项是沿板厚的挤压应力σz引起的余变形能,由于σz与其他几个应力分量相比是小量,故可略去不计。上式中的线积分部分是边界Su上的广义力在广义位移上所做的功,广义位移是三个独立的变量,而薄板理论中的转角和挠度不是独立的。22233222222()2(1)()6=()1()()5512xyxyxyhnnnssnSuAhxyxyzMMMMMdxdyMMQdshphEhhQQMMdz进一步推导得：式中D为板的弯曲刚度,D,Cn,Cs的定义为1()1()1()2yxxnyxynyxxyxxsyysMDpxyCMDpyxCMDyxQwxCQwyC3255,,12(1)612(1)nsEhEhEhDCC利用平衡方程得到内力与挠度的关系22222222222222()510(1)()510(1)(1)()10xxyyyxxyQwwhhMDpxyxQwwhhMDpyxyQQwhMDxyyx再次利用平衡方程得到剪力Qx,Qy与平均挠度w的关系二式分别对x,y求偏导并相加得挠度的双调和方程22222222()1010(1)()1010(1)xxyyhhpQQDwxxhhpQQDwyy2222210(1)Dwphp谢谢！计算同样采用有限元分析软件模拟，模型同5.1节。参数如表5-5。经计算得出各轮压下轮隙位置路基中塑性应变值分别如下图5-12•与灰土处治前相比，路基工作区深度减小了约1.5m。说明路基进行灰土处治、提高地基的压实度，对于路基工作区深度的改善都有很好的效果。参考文献•《地下暗河及软基区重载路基变形破坏物理模型试验研究》•《重载标准与基层当量回弹模量研究》•《交通荷载作用下结构动力响应及路基强度设计研究》•《路基变形及结构适应性研究》•《路基工作区深度与路基压实控制的分析》•《土的弹塑性应力——应变模型理论》•《与路面协调设计的公路路基设计指标及使用环境探讨》•《重载交通对水泥砼路面板路基底工作区深度分析》•《重载交通下的路基工作区界定问题探讨》•《重载交通下的等级路路基工作区深度研究》•《路基设计原理与计算》•《土力学》