统计与概率初步教材分析

初中数学教材教法分析——概率初步天津市静海县沿庄镇中学刘刚提纲一、初中阶段增加概率内容的意义二、整体感知概率三、教学目标及安排四、相关概念解析五、难点分析及突破策略六、概率的计算七、典型题型八、几点建议“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上，因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……。”19世纪法国著名数学家拉普拉斯语一、初中阶段增加概率的意义改革背景：在初中数学中加大统计的份量，增加概率的内容已成共识。回顾我国中学数学教育发展的历史，统计与概率是否进入初中一直是中学数学教育界争论的焦点之一。统计内容在初中教材几进几出，虽然以前初中教材安排了统计的内容，但由于它只在初三出现，而且内容较少，要求不高，在初中实际教学中没有得到充分的重视。对统计与概率重视不够是我国初中数学教材与发达国家中学教材的主要差别之一。从最新的英国、美国、日本以及港、台地区的教材看，统计与概率是初中数学教学内容的重要组成部分，大多数教材在初中的各个年级都有统计与概率的内容，而且占有一定的比例。一、初中阶段增加概率的意义统计与概率内容的改革，对促进初中数学教学内容的现代化、结构的合理化，推动教育技术手段的现代化，改进教师的教学方式和学生的学习方式等都有积极的作用。一、初中阶段增加概率的意义1．使初中数学内容结构更加合理老教材（500课时）代数（258课时）几何（228课时）统计（14课时）新教材数与代数空间与图形统计与概率实践与综合应用一、初中阶段增加概率的意义2、有利于信息技术的整合。统计与概率的内容中涉及大量的复杂数据的计算问题，使用计算器处理这些问题，能使学生感受到使用计算器的必要性。另外，大多数新型的科学计算器都设有统计功能，使用计算器进行统计运算更能体现计算器的快捷和方便。因此，统计与概率能真正推动计算器的普及。另外，增加统计与概率的内容，有利于促进计算机的使用。计算机能够提供大量的信息，可以通过计算机网络收集数据，利用计算机软件绘制统计图表等，这些都为丰富统计与概率提供了大量资源，同时也使得计算机的作用更加突出。一、初中阶段增加概率的意义3．能有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式。转变方式是学习统计与概率的内在要求。由于统计与概率中存在着大量的活动，学生需要通过亲自参与活动来学习统计与概率的内容，掌握数据处理的方法。这些活动已有效地导致教师与学生地位的根本改变，促进了教师教学方法的改进和学生学习方式的改变。教师由知识的传授者成为活动的组织者、引导者、合作者，学生由被动接受知识的容器转变为活动学习的设计者、主持者、参与者；传统的传授式教学已不能满足教学的需要，学生的学习方式由被动接受变为主动探究。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论产生于17世纪，其产生背景与博彩业的发展有关问题的产生：甲、乙两人“掷骰子”赌博，他们约定，若甲首先掷出三次“6点”，或乙首先掷出三次“4点”就算赢了对方，赢家可获得全部赌金。当甲已经掷出了两次“6点”，乙已经掷出一次“4点”时，赌博因故中断，那么两人应如何分配这些赌金？二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展对该问题的两种意见：一种意见认为，甲只需要再掷出一次“6点”就能赢，而乙还需要再掷出两次“4点”才能赢，因此，甲、乙二人所分赌金的数额之比应该是2:1，即甲应分得全部赌金的2/3，乙应分得全部赌金的1/3。另一种意见则认为，假设两人再各掷一次骰子，对甲来说只有两种可能的结果：一种是甲未掷出“6点”，这时即使乙掷出“4点”，两人也只是打了个平手，可以各自得全部赌金的1/2；另一种可能是甲掷出“6点”，那么他可获得全部赌金，因此，甲分得全部赌金的1/2和全部赌金的可能性各占一半，他应该分得全部赌金的，即甲应分得全部赌金的3/4，乙应该分得全部赌金的1/4。11(1)22二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论发展史上几位奠基人物:法国数学家帕斯卡荷兰数学家惠更斯瑞士数学家伯努利法国数学家棣莫弗最早引发概率的研究《论赌博中的机会》《猜度术》《论抽签原理》《机会的学说》二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论研究方法的特殊性：第一、由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能显现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理，这些定义、公理、定理来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论研究方法的特殊性：第二、在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法，这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观察的时候，往往不可能也不必要对于全部对象进行考查。但是对于部分资料所得出的一些结论，要在全体范围内推断这些结论的可靠性。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论研究方法的特殊性：第三、随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的，而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显地稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。任何事件的概率值一定介于0和1之间。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”（等可能概型）。在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举的随机变量，叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，那么，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。二、整体感知概率（二）新课程中概率内容的设置数学新课程内容的四个领域:数与代数空间与图形统计与概率实践与综合应用二、整体感知概率（二）新课程中概率内容的设置新课程三个学段中的概率内容：第一学段（1~3年级）第二学段（4~6年级）第三学段（7~9年级）不确定现象可能性概率三、教学目标及安排（一）本章教学目标1、理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件，什么是随机事件；2、在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象发生可能性大小的数学概念，理解概率的取值范围的意义；3、能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；4、能够通过试验，获得事件发生的频率；知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系。5、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题；6、了解进行模拟试验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟试验。三、教学目标及安排（二）内容安排本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了四章，这四章采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率，一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托，本章概率知识的学习要以前三章的统计部分的知识为基础。本章的主要内容是随机事件的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和树形图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想。三、教学目标及安排（三）课时安排本章教学时间约需14课时，具体分配如下：§22.1概率4课时§22.2用列举法求概率4课时§22.3利用频率估计概率2课时§22.4课题学习2课时数学活动、小结2课时四、相关概念解析1、确定现象和随机现象关心发生的可能性（概率）现象（事件）确定现象随机现象必然发生的必然不发生的关心发生的条件可能发生也可能不发生的2、随机试验和随机事件四、相关概念解析试验：实验：为了察看某事的结果或某物的性能而从事某种活动。为了检验某种科学理论或假设而进行某种操作或从事某种活动。四、相关概念解析2、随机试验和随机事件概率试验的作用：第一、通过概率试验，有助于学生体会随机现象的特点第二、通过概率试验，可以估计一些随机事件的概率第三、通过概率试验，有助于学生澄清一些错误认识四、相关概念解析随机试验满足下面的三个要求：2、随机试验和随机事件（1）试验的基本结果是明确的.一次试验可能出现哪些基本结果是事先可以明确的，所谓基本结果是指这样的一些结果，在一次试验中，必定出现其中的一个，并且只出现一个，即在一次试验中两个不同的基本结果不能同时发生。（2）试验结果的不确定性.一次试验出现什么结果，在试验之前无法预言，即一次试验的结果是不确定的。（3）试验的可重复性.试验可以重复地进行，即试验的条件可以重复实现.四、相关概念解析2、随机试验和随机事件研究随机现象的基本方法是随机试验.每个随机现象都联系着一个随机试验，随机试验的结果是不确定的，每种可能的结果称为随机事件四、相关概念解析2、随机试验和随机事件随机事件发生的可能性大小是可以比较的。概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征注意：概率作为随机事件发生的可能性大小的数量表征，是随机事件自身的固有的属性，它不依赖于人的主观认识，而是在大量试验中表现出来。四、相关概念解析3、等可能性简单的说就是各个结果发生的可能性大小相同。具备以下两个特点的试验就是等可能性试验：（1）一次试验中，可能出现的结果有限多个；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等。四、相关概念解析3、等可能性例如：分别从标有1,2,3,4,5号的5根纸签中随机地抽取一根，抽出的签上的号码有5种可能，即1,2,3,4,5，由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们可以认为，每个号被抽到的可能性相等。又如：掷一个骰子，向上的一面的点数有6种可能，由于骰子的构造质地均匀，又是随机地抛出的，所以我们可以断言，每种结果的可能性相等。四、相关概念解析4、试验、事件和结果随机试验的一般结果称为随机事件，每个随机事件包含若干个基本结果.它用这些基本结果来表示，其中每个基本结果出现都导致这个随机事件发生例如:掷一颗骰子“出现偶数点”是一个随机事件，它包含“出现2点”“出现4点”“出现6点”.无论出现2点、4点或6点，都是“出现偶数点”，都导致“出现偶数点”这一事件发生四、相关概念解析4、试验、事件和结果试验结果1结果2结果n结果c结果b结果a………事件………结果m四、相关概念解析4、试验、事件和结果例如：掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为2；（2）点数为奇数；（3）点数大于2且小于5.掷一个骰子，观察向上一面的点数1试验事件点数为2事件结果所有可能的结果23456点数为奇数点数大于2且小于5341352四、相关概念解析5、古典概型与几何概型（1）古典概型：如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件）发生的可能性大小相等。则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型。对于古典概型E，设它的所有可能结果是n个等可能的情形，事件A包含其中的m个情形，则定义事件A的概率P(A)为P(A)=mn四、相关概念解析5、古典概型与几何概型（2）几何概型：如果随机试验E是向一个可求面积的平面有界区域S内随意投掷一点M，这时S中的每一落点e是一个基本事件“M落在e处”，设点落在S内的任何一个位置上