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《统计与概率》的教材解析和案例分析武汉市十一初中杨正耀《统计与概率》的教材解析一、《统计与概率》已列为四个知识领域之一，成为与“数与代数”、“空间与图形”并重的教学内容.在当今的信息社会里，数据是一种重要的信息，统计概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已成为现代社会一种普遍使用并且强有力的思维方式。能够利用数据和对数据进行处理已成为信息时代每一位公民必备的素质。在基础教育阶段的数学课程中，加强统计概率的份量已成共识，《义务教育数学课程标准》已将“统计与概率”列为四个知识领域之一，成为与“数与代数”“空间与图形”并重的内容，这使得义务教育阶段的数学课程结构更加合理，使学生解决问题的能力得到更全面的培养。附：初中数学课程内容一、数与代数二、空间与图形三、统计与概率四、实践与综合运用二、与旧教材比调整了教学内容，增加了教学课时。•旧教材中只有代数第三册第十四章《统计初步》一章，共12教学课时。•新教材第一版共有四章，第四章《数据的收集》、第十章《数据的描述》、第二十章《数据的分析》、第二十五章《概率初步》。后调整为三章，但课时没有减少。•与旧教材相比，《统计与概率》教学课时由旧教材的12课时增加到39课时，增加了2.3倍。附：七年级上册（61）•第1章有理数（19）•第2章整式的加减（8）•第3章一元一次方程（18）•第4章图形认识初步（16）七年级下册（62）•第5章相交线与平行线（14）•第6章平面直角坐标系（7）•第7章三角形（8）•第8章二元一次方程组（12）•第9章不等式与不等式组（12）•第10章数据库的收集整理与描述（9）八年级上册（62）•第11章全等三角形（11）•第12章轴对称（13）•第13章实数（8）•第14章一次函数（17）•第15章整式的乘除与因式分解（13）八年级下册（61）•第16章分式（14）•第17章反比例函数（8）•第18章勾股定理（8）•第19章四边形（16）•第20章数据的分析（15）九年级上册（62）•第21章二次根式（9）•第22章一元二次方程（13）•第23章旋转（8）•第24章圆（17）•第25章概率初步（15）九年级下册（48）•第26章二次函数（12）•第27章相似（13）•第28章锐角三角函数（12）•第29章投影与视图（11）三、武汉市中考试题《统计与概率》部分的题型、题量、内容解析年份题量分值考查内容20073小题13分统计图表应用、概率计算及应用20083小题13分统计图表应用、概率的计算及应用20094小题16分平均数、统计图表应用、概率及应用20104小题16分中位数、统计图表应用、概率及应用四、《统计与概率》的编排设计的说明教材编写时，一方面注意与前两个学段的衔接，同时也注意为后面的学习打好基础。从《标准》看，“统计与概率”领域主要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法和概率的初步知识，这些内容在三个学段均有安排，教学要求随着学段的升高逐渐提高。第三学段的“统计与概率”在前两个学段的基础上，继续学习数据处理的方法和概率的初步知识。依据《标准》第三学段的内容标准和统计概率本身的特点，本套教材将“统计与概率”领域独立于“数与代数”和“图形与几何”领域安排，共有三章。这三章内容采用统计部分和概率部分分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率。统计部分的两章内容按照数据处理基本过程的不同侧重点来安排，分别是7年级下册的第10章“数据的收集、整理与描述”，8年级下册的第20章“数据的分析”；概率部分为9年级上册的第25章“概率初步”。对于数据的收集与整理，《标准》在三个学段采用螺旋上升的安排方式，第1学段要求“学习一些简单的收集、整理数据的方法”，第2学段要求“进一步学习收集、整理数据的方法”，第3学段要求“体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想”等。根据《标准》的这个特点，在编写时，特别注意与前两个学段的衔接，在系统整理前两个学段相关内容的基础上，编写新内容。比如增加了设计问卷调查、利用抽样调查来收集数据的初步知识、利用频数分布表整理数据等，使三个学段的学习连成一个整体。对于数据的分析，《标准》在第2学段和本学段都有要求，第2学段要求“理解、会求平均数、众数、中位数，选择适当的统计量表示数据的不同特征”，这样看来，对于分析数据集中趋势的三种统计量，学生在第2学段已经有所接触，已经会求平均数、众数、中位数，对它们可以表示数据的不同特征有所体会；《标准》在本学段要求“会计算加权平均数，能选择适当的统计量表示数据的集中程度；会计算极差方差，会表示数据的离散程度”，这样看来，本学段在第2学段的基础上，需要学习利用加权平均数刻画数据的集中趋势以及用极差、方差刻画数据的离散程度等。根据《标准》的这个特点，本章在编写时，注意与前两个学段的衔接，将三个学段的相关内容，在分析数据的这个大背景下统一起来，在对学生已有的相关知识进行整理的基础上学习新的知识。例如，对于平均数、中位数、众数，本章就是在研究数据集中趋势的大背景下，在整理学生已有的关于这三种统计量的认识的基础上，学习加权平均数，研究如何根据统计量的特征选择适当的统计量描述数据的集中趋势等。这样的一种编写方式，将三个学段的学习连成一个相互联系、螺旋上升的整体。因此，教学中注意了对已有知识的复习，在复习的基础上学习新内容，使学生对于分析数据的知识和方法形成整体认识。《概率初步》“统计与概率”的最后一章，主要内容是理解随机观念及概率的思想方法。随机事件在现实世界中是普遍存在的，概率论就是研究和揭示随机现象统计规律的数学工具。本章的开始，教科书设计了两个实验：抽签实验和掷骰子实验。引入了随机事件及概率的古典定义。根据概率的古典定义，我们采用列举的方法计算一些简单事件的概率。例1~3都是通过列举的方法求一步概率，例4、5是两步概率，例6是三步概率。第二节是用频率估计概率。用频率估计概率引用了与我们生活息息相关的三个例题分析问题和解决问题。最后是课题学习与实验操作。附：10.1统计调查实验与探究约3课时10.2直方图约3课时10.3课题学习从数据谈节水约1课时数学活动小结约2课时20．1数据的代表约6课时20．2数据的波动约5课时20．3课题学习约2课时数学活动小结约2课时25.1概率约4课时25.2用列举法求概率约4课时25.3利用频率估计概率约2课时25.4课题学习约2课时数学活动小结约2课时教材编写特点1.“统计与概率”部分的设计注重了所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用。教科书在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际。案例一：20.1.1平均数问题：某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表。郊县人数/万人均耕地面积/公顷A150.15B70.21C100.18这个市郊县人均耕地面积是多少（精确到0.01公顷）？小明求得这个市郊县的人均耕地面积为:你认为小明的做法有道理吗？为什么？)(18.0318.021.015.0公顷x由于各郊县的人数不同，各郊县的人均耕地面积对这个市郊县的人均耕地面积的影响不同，因此这个市郊县的人均耕地面积不能是三个郊县人均耕地面积的算术平均数)(18.0318.021.015.0公顷x)(17.0107151018.0721.01515.0公顷而应该是：你能说出这个式子中分子，分母各表示什么吗？上面的平均数0.17称为3个数0.15、0.21、018的加权平均数（weightedaverage），三个郊县的人数（单位是万），15、7、10分别为三个数据的权（weight）nxxx，， ， 21n，， ， 21引入加权平均数的意义：若n个数的权分别是则：nnn3212211叫做这n个数的加权平均数。数据的“权”能够反映的数据的相对“重要程度”。例1一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：应试者听说读写甲85837875乙73808582（1）如果这家公司想招一名口语能力比较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？（2）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2：2：3：3的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？显然权重不同，平均成绩不同，录取的结果不同。例2一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占50％、演讲能力占40％、演讲效果占10％的比例，计算选手的综合成绩（百分制）。进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：请决出两人的名次？选手演讲内容演讲能力演讲效果A859595B958595练习1、某公司欲招聘公关人员，对甲、乙候选人进行了面视和笔试，他们的成绩如下表所示（1）如果公司认为面试和笔试同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取（2）如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、两人各自的平均成绩，看看谁将被录取。候选人测试成绩（百分制）测试笔试甲8690乙9283练习2、晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20％，期中考试成绩占30％，期末成绩占50％。小桐的三项成绩（百分制）依次是95分、90分、85分，小桐这学期的体育成绩是多少？2.“统计与概率”部分的设计注重了学生参与数据处理的全过程中的合作意识，为学生共同参予和独立思考与合作交流的空间。案例二1.统计某种商品一个月内的销售情况，对这种商品的生产提出你的建议。2.通过实验求图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率。钉帽着地钉尖着地调查与实验都需要大量的数据或重复实验，往往不是一个两个学生能解决的，需要更多学生的共同参与，合作完成。有些数据的处理因调查环境的复杂而数据又需要真实、可靠，需要发挥群体学生的共同智慧与合作意识。案例三•（武汉市2010年四月调考）4.下列两个说法:①“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示抛硬币2次必有1次出现正面朝上；②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖.其中A.①②都正确B.只有①正确C.只有②正确D.两个说法都错误•（武汉市2010年中考）4.下列说法：①“掷一枚质地均匀的硬币一定是正面朝上”；②“从一副普通扑克牌中任意抽取一张，点数一定是6”．(A)①②都正确．(B)只有①正确．(C)只有②正确．(D)①②都正确．3.“统计与概率”部分的设计增加了数学活动和探究性的学习课题。案例四、探究性的学习课题•探究本地一年中的气温变化规律；•节约用水等数学活动和探究性的学习。课题的研究需要一定的主、客观条件，学生研究的成果很可能不尽如人意，但是，研究性学习“重过程、重参与、重应用、重体验”，而且在实施过程中学生不仅巩固了本部分所学的统计知识、提高了能力，还学到了一些书本上学不到的东西，如人际交往、社情教育、服务意识、科学的态度和科研的艰辛等。4.“统计与概率”部分的设计有利于促进信息技术和数学课堂整合的发展。•统计与概率内容中涉及大量复杂数据的计算问题，使用计算器处理这些问题，能使学生感受到使用计算器进行统计运算更能体现计算器的快捷和方便。•计算机能够提供大量的信息，可以通过计算机网络收集数据，利用计算机软件绘制统计图表及进行模拟实验等，•增强了学生学习数学的兴趣，还能推动计算器的普及与发展，培养出众多的计算机高手。5.“统计与概率”部分的设计使几个学段的教学内容的结构更加合理•小学段学生将经历简单的数据的统计过程，根据数据分析的结果作出简单的判断与预测，体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性，逐步获得运用数学知识解决数学问题的方法和意识；•初中学段，学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。使学生