椭圆不错的习题(练习+详细答案)

知识改变命运，学习成就未来第1页共13页提能拔高限时训练35一、选择题1.已知A(0,b),点B为椭圆12222byax(ab0)的左准线与x轴的交点.若线段AB的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为（）A.3B.23C.33D.43解析:由已知,得B(0,2ca),又A(0,b),∴AB的中点C为)2,2(2bca.∵点C在椭圆上,∴,3.14142222caca即33e.答案:C2.椭圆1422yx的左、右两个焦点分别为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,已知一个交点为P,则|PF2|等于（）A.23B.3C.27D.4解析:方法一:设F1(3,0),F2(3,0),则点P的横坐标为3.由点P在椭圆上,得,14)3(22y∴,21y即|PF1|=21.又∵|PF2|+|PF1|=2a=4,∴|PF2|=27.方法二:由已知得a=2,c=3,e=23,椭圆的右准线方程为3342cax.知识改变命运，学习成就未来第2页共13页∵.27||,23)3(334||22PFePF答案:C3.设F1、F2分别是椭圆12222byax(ab0)的左、右两个焦点,若在其右准线上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.]22,0(B.]33,0(C.)1,22[D.)1,33[解析:如图,设右准线与x轴的交点为H,则|PF2|≥|HF2|.又∵|F1F2|=|PF2|,∴|F1F2|≥|HF2|,即2c≥cca2.∴3c2≥a2.∴e2≥31,即e≥33.又∵e1,∴e∈［1,33).答案:D4.设点P(-3,1)在椭圆12222byax(ab0)的左准线上,过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（）A.33B.31C.22D.21解析:入射光线所在直线的方程为y-1=25(x+3),它与直线y=-2的交点为)2,59(.又反射光线过点(-c,0),知识改变命运，学习成就未来第3页共13页∴1,255902cc.又3,3,322aaca,∴33e.答案:A5.设椭圆12222byax(ab0)与x轴正半轴的交点为A,和y轴正半轴的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB的面积最大值为（）A.2abB.ab22C.21abD.2ab解析:方法一:设P(acosθ,bsinθ),则S四边形OAPB=S△OAP+S△OBP=)cos(sin21cos21sin21abbaab.∵sinθ+cosθ=2sin(θ+4)≤2,∴S四边形OAPB≤22ab.方法二:设点P(x,y),则S四边形OAPB=S△AOP+S△BOP=).(212121bxaybxay由不等式性质:a0,b0时,.2222)(21,2222222222abbaxbyabxaybaba得方法三:如图,直线AB的方程为),(0axabyS四边形OAPB=S△AOB+S△APB=ab21+S△APB.设点P到直线AB的距离为d,则S△APB=dbadAB2221||21,由题意,知过点P的直线与椭圆相切且和直线AB平行时d有最大值,∴可设过点P且与AB平行的直线为mxaby.知识改变命运，学习成就未来第4页共13页联立方程组,1,2222byaxmxaby得2b2x2-2mabx+a2(m2-b2)=0,Δ=(-2mab)2-8a2b2(m2-b2)=0,解得bm2.由两平行线间的距离公式,得,)12(22baabdS△APB最大值=ab212,∴S四边形OAPB最大值=ab22.答案:B6.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′,若l′与椭圆1422yx交于A、B两点,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为21的点P的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析:可求出直线l′:2x+y-2=0.由方程组,14,02222yxyx解得x=0或x=1.∴A(0,2),B(1,0),|AB|=5.∴点P到AB的距离为51.由AB所在的直线方程为y=-2x+2,设P(x0,y0),则,515|22|,14002020yxyx解之有两组解.故存在两个不同的P点满足题意.答案:B7.椭圆sin3,cos2Yx(φ为参数)的离心率为（）知识改变命运，学习成就未来第5页共13页A.32B.135C.35D.132解析:将椭圆的参数方程化为普通方程,得,1)3()2(22yx即19422yx.∴a2=9,b2=4,即a=3,b=2.∴c2=a2-b2=5,c=5.∴35ace.答案:C8.设e为椭圆)2(1222mmyx的离心率,且e∈(1,22),则实数m的取值范围为（）A.(-1,0)B.(-2,-1)C.(-1,1)D.(-2,21)解析:∵椭圆方程为1222myx,∵m-2且-m0,∴0-m2.∴a2=2,b2=-m,即.,2mba∴c2=a2-b2=2+m,mc2,)1,22(22mace.解得m∈(-1,0).答案:A9.若AB为过椭圆1162522yx中心的弦,F1为椭圆的右焦点,则△F1AB面积的最大值为（）A.6B.12C.24D.48知识改变命运，学习成就未来第6页共13页解析:由已知得F1为(3,0),则△F1AB可看成由△OBF1和△OAF1组成.设A(x0,y0),则B(-x0,-y0).∴111OAFOBFABFSSS=||||21||||210101yOFyOF=||3||321200yy.由椭圆的定义,知|y0|≤b=4,∴.121ABFS答案:B10.已知椭圆192522yx,过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A、B两点,交y轴于P点,设PA=λ1AF,PB=λ2BF,则λ1+λ2的值为（）A.259B.950C.950D.259解析:设直线AB的方程为y=k(x-c),则02)()()0(1222222222222222backaxckaxbkacxkybabyax,∴222222bkackaxxBA,22222222bkabackaxxBA,BBAAxcxxcx21=BABABABAxxxxccxxxxc)(2)(2知识改变命运，学习成就未来第7页共13页=121)(2222222222eaccaaba.∵,54e∴λ1+λ2=950.答案:B二、填空题11.已知椭圆1522myx的离心率510e,则m的值为___________.解析:分两种情况.焦点在x轴上时,0m5,∴51055me,解得m=3;焦点在y轴上时,m5,∴,5105mme解得325m.答案:3或32512.(理)在△ABC中,AB=BC,cosB=187.若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=____________.解析:∵以A、B为焦点的椭圆经过点C,∴BCACABe.∵AB=BC,∴ABACABe.又1872cos222BCABACBCABB,∴18722222ABACAB，解得ABAC35.∴83e.答案:83(文)在△ABC中,∠A=90°,tanB=43.若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_________.解析:设|AC|=3x,|AB|=4x,知识改变命运，学习成就未来第8页共13页又∵∠A=90°,∴|BC|=5x.由椭圆定义知|AC|+|BC|=2a=8x,那么2c=|AB|=4x,∴2184xxace.答案:2113.已知A、B为椭圆C:1122mymx的长轴的两个端点,P是椭圆C上的动点,且∠APB的最大值是32,则实数m的值是______________.解析:由椭圆知识,知当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值,根据题意则有.2113tanmmm答案:2114.椭圆14922yx的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点.当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是__________.解析:若∠F1PF2=90°,设P(x,y),则由椭圆方程得a=3,b=2,52322c.∴F1(5,0),F2(5,0).∴15521xyxykkPFPF.①又14922yx.②解①②得x=±553.结合椭圆图形可得,当∠F1PF2为钝角时,553553x.答案：553553x三、解答题15.椭圆中心在原点O,它的短轴长为22,对应于焦点F(c,0)(c0)的准线l与x轴相交于点A,且｜OF｜=2｜FA｜,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)设OQOP=0,求直线PQ的方程.知识改变命运，学习成就未来第9页共13页解:(1)由题意,设椭圆的方程为)2(12222ayax.由已知,得),(2,2222ccacca解得a=6,c=2.∴椭圆的方程为12622yx,离心率36ace.(2)由(1)知A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),由方程组).3(,12622xkyyx得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0.依题意Δ=12(2-3k2)0,∴3636k.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1+x2=13627,1318222122kkxxkk,由直线PQ的方程,得y1y2=k(x1-3)·k(x2-3)=k2［x1x2-3(x1+x2)+9］.∵OQOP=0,∴x1x2+y1y2=0.∴0]91318313627[136272222222kkkkkkk.整理得5k2=1,∴)36,36(55k.∴直线PQ的方程为55y(x-3),即035yx或035yx.16.(理)已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.知识改变命运，学习成就未来第10页共13页(1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.解:(1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.设直线AC的方程为y=-x+n.由,.4322nxyyx得4x2-6nx+3n2-4=0.∵A,C在椭圆上,∴Δ=-12n2+640,解得334334n.设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=23n,,443221nxxy1=-x1+n,y2=-x2+n.∴y1+y2=2n,AC的中点坐标为)4,43(nn.由四边形ABCD为菱形可知,点)4,43(nn在直线y=x+1上.∴1434nn,解得n=-2.∴直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)∵四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,∴|AB|=|BC|=|CA|.∴S菱形ABCD=2||23AC.由(1)知|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=.21632n∴S菱形ABCD=).334334)(163(432nn∴当n=0时,S菱形ABCD取得最大值34.(文)已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;(2)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.解:(1)因为AB∥l,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为y=