_锐角三角函数定义及性质

我们已经知道，如图：直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.∠A的对边a脑中有“图”，心中有“式”BAC斜边c∠A的邻边b∠A的邻边bACB∠A的对边a斜边c知识点1：直角三角形的认识1：对于∠A来说：2：对于∠B来说,它们分别是什么？脑中有“图”，心中有“式”问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.ABC思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情境探究根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即ABC在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长..21ABBC斜边的对边A可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管.在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.21ABC50m30mB'C'即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.22如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABBCABC综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？21当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；22当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝ɑ，那么ABBC1111BACB=ABCA1由于∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝所以Rt△ABC∽Rt△A1B1C1所以11CBBC＝11BAAB所以ABBC＝1111BACBB1C1这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探索驶向胜利的彼岸如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即caAA斜边的对边sin例如，当∠A＝30°时，我们有2130sinsinA当∠A＝45°时，我们有2245sinsinAABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c正弦新知探索:ABCabc1.你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？cbba2.当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比，∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由.方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相似三角形的性质来说明.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cbAA斜边的邻边cosABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即baAAA的邻边的对边tan驶向胜利的彼岸知识点2：锐角三角函数定义sinAaAc的对边斜边cosAbAc的邻边斜边tanAaAAb的对边=的邻边1、∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA,即2、∠A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作cosA,即3、∠A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA,即4、∠A的邻边与对边的比值叫做∠A的余切，记作cotA,即cotAbAAa的邻边的对边斜边对边正弦斜边邻边余弦邻边对边正切对边邻边余切锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切叫做锐角∠A三角函数简记：重要提示：三角函数只与角度的大小有关，与边的长短无关。锐角三角函数定义正弦,余弦,正切,余切:回顾与思考1驶向胜利的彼岸bABCa┌c,sincaA,coscbA,tanbaA.cotabA,sincbB,coscaB,tanabB.cotbaB三角函数的应用例1如图所示，求出∠A的四个三角函数。ABC158解：AC=222215828917BCAC∴sinA=817BCACCOSA=517ACABtanA=815BCACcotA=158ACBC提示：已知直角三角形任意两边可以求出两锐角的四个三角函数值。课本P90页例题跟进训练求出图中∠D的四个三角函数值CDE106解：CE=22221068CDDE∴sinD=COSD=tanD=cotD=84105CECD63105DECD8463CEDE6384DECEABC6.34tan54cos,8610.10356sinsin2222BCACBABACABCABACABCABABBCA，又，解：例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．53sinAABC6.34tan54cos,8610.10356sinsin2222BCACBABACABCABACABCABABBCA，又，解：练习：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．53sinA练一练1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA=（）(2)cosB=（）(3)sinA=0.6m（）(4)SinB=4/5（）ABBCBCAB√√√×sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，cosB=（）BCAB×2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C1100练一练3.如图ACB37300则sinA=___cosA=___.1222例2.已知△ABC中，∠ACB=90。，BC:AC=3：4，求∠A的四个三角函数值.45例3如图所示，在△ABC中，AB=AC=13,cosB=则BC=__________。5,13ABCD分析：三角函数是在直角三角形中，而题中没有直角三角形，所以，需要作辅助线，将∠B放入一个直角三角形中。∵cosB=BDAB∴BDAB513∴BD=5,∴BC=2BD=1010如图，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面积.54BAC55知识点3：三角函数的性质1：取值范围：ACB0＜sinA＜10＜cosA＜1tanA＞0cotA＞0,sincaA,coscbA,tanbaA.cotabAabc∵a＜c,b＜c,且a、b、c都大于001,0,0aabcba2.互余两角之间的三角函数关系:直角三角形两锐角互余:∠A+∠B=900.则∠B=90°-∠AbABCa┌c则sinA=cosB或cosA=sinB.,sincaA,coscbA,tanbaA.cotabA,sincbB,coscaB,tanabB.cotbaBtanA=cotB或cotA=tanB.sinA=cos（90°-A）或cosA=sin（90°-A）.tanA=cot（90°-A）或cotA=tan（90°-A）.一个角的正弦等于它的余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦；一个角的正切等于它的余角的余切；一个角的余切等于它的余角的正切。3.同角之间的三角函数的关系(1)平方和关系:bABCa┌c.1cossin22AA.cos1sin22AA.cos1sin2AA或.sin1cos22AA.sin1cos2AA或(2)商的关系:.sincoscot,cossintanAAAAAA(3)倒数关系:.1cottanAA.cot1tanAA.tan1cotAA例3已知sinA=，求∠A的其他三个三角函数值13解：cosA=221221sin133AtanA=sin12212cos33422AAcotA=124122tan42A∵sinA=a:c,∴可设a=k,C=3k,由勾股定理可求出b,然后根据定义求出其他三个三角函数值可跟进训练4cos5已知，求出的其他三个三角函数值sin解：22431cos155sin343tancos55414cottan3拓展训练5tan,12已知求的其他三个三角函数值cot解：112tan5sintancossin5cos12∴可设_______=5k,_______12ksincos又∵=122sincos225121kk113k解得5sin513k12cos1213k在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5BC=3CD⊥AB求sin∠BCDACDB补充练习2.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．MCBA3.如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：.2BDABBCDCBA