概率论

项目2概率论、数据统计与区间估计实验1概率模型实验目的通过将随机试验可视化,直观地理解概率论中的一些基本概念,从频率与概率的关系来体会概率的统计定义,并初步体验随机模拟方法.通过图形直观理解随机变量及其概率分布的特点.基本命令1.调用统计软包的命令进行统计数据的处理,必须调用相应的软件包,首先要输入并执行命令statistics`以完成数据统计的准备工作.2.调用作图软件包的命令Graphics\Graphics.m用Mathematica作直方图,必须调用相应的作图软件包,输入并执行Graphics`这时可以查询这个软件包中的一些作图命令的用法.如输入??BarChart则得到命令BarChart的用法说明;如果没有,则说明调用软件包不成功,必须重新启动计算机,再次调用软件包.实验举例频率与概率例1.1(高尔顿钉板实验)自高尔顿钉板上端放一个小球,任其自由下落.在其下落过程中,当小球碰到钉子时从左边落下的概率为p,从右边落下的概率为,1p碰到下一排钉子又是如此,最后落到底板中的某一格子.因此任意放入一球,则此球落入哪个格子事先难以确定.设横排共有20m排钉子,下面进行模拟实验:(1)取,5.0p自板上端放入一个小球,观察小球落下的位置;将该实验重复作5次,观察5次实验结果的共性及每次实验结果的偶然性;(2)分别取,85.0,5.0,15.0p自板上端放入n个小球,取,5000n观察n个小球落下后呈现的曲线.作出不同p值下5000个小球落入各个格子的频数的直方图,输入Statistics`Graphics`Graphics`Galton[n_Integer,m_Integer,p_]:=Module[{},dist={};For[l=1,l=n,l++,k=0;t=Table[Random[BernoulliDistribution[p]],{i,1,m}];Do[If[t[[i]]==1,k++,k--],{i,1,m}];dist=Append[dist,k];pp=Frequencies[dist];];Histogram[dist,BarStyle-{RGBColor[0,0,1]}];]p=0.15;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]p=0.5;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]p=0.85;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]则输出-15.-10.-5.0.20040060080010001200p0.15-15.-10.-5.0.5.10.200400600800p0.55.10.15.20.20040060080010001200p0.85图1-1由图1-1可见:若小球碰钉子后从两边落下的概率发生变化,则高尔顿钉板实验中小球落入各个格子的频数发生变化,从而频率也相应地发生变化.而且,当,5.0p曲线峰值的格子位置向右偏;当,5.0p曲线峰值的格子位置向左偏.几何概型例1.2甲、乙二人约定八点到九点在某地会面,先到者等20分钟离去,试求两人能会面的概率.由于甲、乙二人在[0,60]时间区间中任何时刻到达是等可能的,若以X,Y分别代表甲乙二人到达的时刻,则每次试验相当于在边长为60的正方形区域}60,0);,{(YXYX中取一点.设到达时刻互不影响,因此),(YX在区域内取点的可能性只与区域的面积大小成正比,而与其形状、位置无关.于是,会面问题可化为向区域随机投点的问题.所关心的事件“二人能会面”可表示为}20||);,{(YXYXA(图1-2)于是,所求概率的理论值为)(AP(A的面积)/(的面积)556.095图1-2下面,我们作如下模拟试验:(1)模拟向有界区域投点n次的随机试验,取100n,统计每次投点是否落在图1-2所示区域A中,若是则计数1次.(2)改变投点数,10000,5000,1000n统计落入区域A的次数.输入meet[n_Integer]:=Module[{x},x[k_]:=x[k]=Abs[Random[Integer,{0,60}]-Random[Integer,{0,60}]];pile=Table[x[k],{k,1,n}];times=Count[pile,x_/;0=x=20];Print[times];frequence=N[times/n]]n=100;meet[n]n=1000;meet[n]n=5000;meet[n]n=10000;meet[n]则输出所求结果,为方便比较,将输出结果列于表1-1中表1-1约会次数约会成功次数约会成功频率理论约会成功概率100580.5810005570.5570.556500028420.56841000055290.5529从上表结果可见,当约会次数越来越大时,试验约会成功频率与理论约会成功概率越来越接近.离散型随机变量及其概率分布例1.3(二项分布)利用Mathematica绘出二项分布),(pnb的概率分布与分布函数的图形,通过观察图形,进一步理解二项分布的概率分布与分布函数的性质.设20n,,2.0p输入Statistics`Graphics`Graphics`n=20;p=0.2;dist=BinomialDistribution[n,p];t=Table[{PDF[dist,x+1],x},{x,0,20}];g1=BarChart[t,PlotRange-All];g2=Plot[Evaluate[CDF[dist,x]],{x,0,20},PlotStyle-{Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]}];t=Table[{x,PDF[dist,x]},{x,0,20}];gg1=ListPlot[t,PlotStyle-PointSize[0.03],DisplayFunction-Identity];gg2=ListPlot[t,PlotJoined-True,DisplayFunction-Identity];p1=Show[gg1,gg2,g1,DisplayFunction-$DisplayFunction,PlotRange-All];则分别输出二项分布概率分布图形(图1-3)与分布函数图形(图1-4).51015200.050.10.150.2图1-351015200.20.40.60.81图1-4从图1-3可见,概率}{kXP随着k的增加,先是随之增加,直到4k达到最大值,随后单调减少.而从图1-4可见,分布函数)(xF的值实际上是xX的累积概率值.通过改变n与p的值,读者可以利用上述程序观察二项分布的概率分布与分布函数随着n与p而变化的各种情况,从而进一步加深对二项分布及其性质的理解.连续型随机变量及其概率密度函数例1.4(正态分布)利用Mathematica绘出正态分布),(2N的概率密度曲线以及分布函数曲线,通过观察图形,进一步理解正态分布的概率分布与分布函数的性质.(1)固定,1取,2,0,2观察参数对图形的影响,输入Statistics`Graphics`Graphics`dist=NormalDistribution[0,1];dist1=NormalDistribution[-2,1];dist2=NormalDistribution[2,1];Plot[{PDF[dist1,x],PDF[dist2,x],PDF[dist,x]},{x,-6,6},PlotStyle-{Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]},PlotRange-All];Plot[{CDF[dist1,x],CDF[dist2,x],CDF[dist,x]},{x,-6,6},PlotStyle-{Thickness[0.008],RGBColor[1,0,0]}];则分别输出相应参数的正态分布的概率密度曲线(图1-5)及分布函数曲线(图1-6).-6-4-22460.10.20.30.4图1-5-6-4-22460.20.40.60.81图1-6从图1-5可见:(a)概率密度曲线是关于x对称的钟形曲线,即呈现“两头小,中间大,左右对称”的特点.(b)当x时,)(xf取得最大值,)(xf向左右伸展时,越来越贴近x轴.(c)当变化时,图形沿着水平轴平移,而不改变形状,可见正态分布概率密度曲线的位置完全由参数决定,所以称为位置参数.(2)固定0,取,5.1,1,5.0观察参数对图形的影响,输入dist=NormalDistribution[0,0.5^2];dist1=NormalDistribution[0,1];dist2=NormalDistribution[0,1.5^2];Plot[{PDF[dist1,x],PDF[dist2,x],PDF[dist,x]},{x,-6,6},PlotStyle-{Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]},PlotRange-All];Plot[{CDF[dist1,x],CDF[dist2,x],CDF[dist,x]},{x,-6,6},PlotStyle-{Thickness[0.008],RGBColor[1,0,0]},PlotRange-All];则分别输出相应参数的正态分布的概率密度曲线(图1-7)及分布函数曲线(图1-8)-6-4-22460.250.50.7511.251.5图1-7-6-4-22460.20.40.60.81图1-8从图1-7与图1-8可见:固定,改变时,越小,在0附近的概率密度图形就变得越尖,分布函数在0的附近增值越快;越大,概率密度图形就越平坦,分布函数在0附近的增值也越慢,故决定了概率密度图形中峰的陡峭程度;另外,不管如何变化,分布函数在0点的值总是0.5,这是因为概率密度图形关于0x对称.通过改变与的值,读者可以利用上述程序观察正态分布的概率分布与分布函数随着与而变化的各种情况,从而进一步加深对正态分布及其性质的理解.随机变量函数的分布例1.5设X,Y相互独立,都服从(0,1)上的均匀分布,求YXZ的概率密度.理论上,我们可用卷积公式直接求出YXZ的密度函数:其它,021,210,)(zzzzzg下面,我们作如下模拟试验:(1)产生两组服从(0,1)上均匀分布的相互独立的随机数,,,2,1,,niyxii取n,1000计算;iiiyxz(2)用数据iz作频率直方图,并在同一坐标系内画出用卷积公式求得的密度函数图形作比较.输入Statistics`Clear[g1,t,t1,t2];t={};n=1000;g1[x_]:=50*Which[0=x=1,x,1=x=2,2-x,True,0];pic1=Plot[g1[x],{x,0,2},PlotStyle-{Thickness[0.01],RGBColor[0,0,1]}];t1=RandomArray[UniformDistribution[0,1],n];t2=RandomArray[UniformDistribution[0,1],n];Do[t=Append[t,t1[[i]]+t2[[i]]],{i,n}];p1=Histogram[t];Show[pic1,p1,DisplayFunction-$DisplayFunction];则在同一坐标系中输出所求频率直方图与密度函数的图形(图1-9).0.511.521020304050图1-9中心极限定理的直观演示例1.6本例旨在直观演示中心极限定理的基本结论:“大量独立同分布随机变量的和的分布近似服从正态分布”.按以下步骤设计程序:(1)产生服从二项分布),10(pb的n个随机数,取2.0p,50n,计算n个随机数之和y以及)1(