正弦与余弦定理练习题及答案

精心整理精心整理国庆作业（一）正弦定理和余弦定理练习题一．选择题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()A.B.C.D．22．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．4B．4C．4D.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4，b＝4，则角B为()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝()A．1B.C．2D.6．在△ABC中，若＝，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()A.B.C.或D.或8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()A.B．2C.D.二、填空题9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________.10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.精心整理精心整理11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.14．已知三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.15．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.16．在△ABC中，b＝4，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？（17题）三、简答题18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2，sincos＝，sinBsinC＝cos2，求A、B及b、c.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos2A＝，sinB＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝60，sinB＝sinC，△ABC的面积为15，求边b的长．21．已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sinB＝sinC.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．23．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．余弦定理练习题1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于()A．6B．2C．3D．42．在△ABC中，a＝2，b＝－1，C＝30°，则c等于()A.B.C.D．2精心整理精心整理3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则∠B的值为()A.B.C.或D.或5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于()A．aB．bC．cD．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为()A．2B．－2C．4D．－48．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a为()A.B．2C.或2D．29．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，则边c的值为________．12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA∶cosB∶cosC＝________.13．在△ABC中，a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·的值为________．15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的精心整理精心整理余弦值为________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．18．已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sinB＝sinC.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．19．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()A.B.C.D．2解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝.2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．4B．4C．4D.解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝4.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4，b＝4，则角B为()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理＝得：sinB＝＝，又∵ab，∴B60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝()A．1B.C．2D.解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.6．在△ABC中，若＝，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()A.B.C.或D.或精心整理精心整理解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()A.B．2C.D.解析：选D.由正弦定理得＝，∴sinC＝.又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝.9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________.解析：由正弦定理得：＝，所以sinA＝＝.又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝.答案：10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.解析：由正弦定理得＝?sinB＝＝＝.答案：11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由＝得，a＝＝4，∴a＋c＝8.答案：812．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴×12×sin60°×c＝18，∴c＝6.精心整理精心整理答案：12614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝＝＝2，又∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴＝＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.解析：依题意，sinC＝，S△ABC＝absinC＝4，解得b＝2.答案：216．在△ABC中，b＝4，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．解析：∵bsinC＝4×＝2且c＝2，∴cbsinC，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解：在△ABC中，BC＝40×＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC＝＝＝10(km)．即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10km.18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2，sincos＝，sinBsinC＝cos2，求A、B及b、c.解：由sincos＝，得sinC＝，又C∈(0，π)，所以C＝或C＝.由sinBsinC＝cos2，得sinBsinC＝[1－cos(B＋C)]，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＋cos(B＋C)＝1，变形得cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，A＝π－(B＋C)＝.由正弦定理＝＝，得精心整理精心整理b＝c＝a＝2×＝2.故A＝，B＝，b＝c＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos2A＝，sinB＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sinB＝，∴cosB＝＝.又cos2A＝1－2sin2A＝，∴sinA＝，cosA＝，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝×－×＝.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.(2)由(1)知，C＝，∴sinC＝.由正弦定理：＝＝得a＝b＝c，即a＝b，c＝b.∵a－b＝－1，∴b－b＝－1，∴b＝1.∴a＝，c＝.20．△ABC中，ab＝60，sinB＝sinC，△ABC的面积为15，求边b的长．解：由S＝absinC得，15＝×60×sinC，∴sinC＝，∴∠C＝30°或150°.又sinB＝sinC，故