信号与系统 卷积积分

信号与系统§2.4.1卷积信号与系统h(t)√e(t)√r(t)?h(t)?e(t)√r(t)√h(t)√e(t)?r(t)√1．定义与物理意义①历史：19世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔②卷积与反卷积互逆i)卷积ii)反卷积1：系统辨识iii)反卷积2：信号检测卷积定义信号与系统③定义：12()()ftft12()()()dftfft1212()()()()()()ftftftftftft或设有两个函数，积分12()()ftft称为的卷积积分，简称卷积，记为卷积定义信号与系统利用卷积求系统的零状态响应()()()dftft()()rtHft()()dHft任意信号可表示为冲激信号加权和()()dfHt()()dfht这就是系统的零状态响应。zs()()()rtftht若把它作用于冲激响应为h(t)的LTI系统，则响应为④物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的零状态响应，即：()ft信号与系统卷积的计算可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。用图解法直观，用图形分段求出定积分限尤为方便准确12()()()dftfft11()()ftf2222()()()()ftffft反折12()()fft12().()dfft积分变量改为时延3.相乘4.乘积的积分2.1.对τ延时t，－(τ-t)=t-τ积分结果为t的函数1、借助于阶跃函数u(t)确定积分限2、利用图解说明确定积分限其中，积分限的确定是非常关键。信号与系统卷积图解过程Ot()tf1111Ot()tf2323O()2f23O()tf223O()1f1113tt)]3()([2)(),()(221tututtftGtf例：3t0tt信号与系统卷积图解过程O2311下限上限t-3t)(2tft：移动的距离)(1f-11,未移动)(2tf的坐标是浮动的。3tt()tf2当从到变化时，对应的从左向右移动。t)(2tfO23113tt()tf20t2()f0t22()()fft右移,0t22()()fft左移,信号与系统O()1f111t-13tt()tf2两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为00)()(21tff0)()()(21tftftf1t卷积图解过程信号与系统-1t1O()1f1113tt()tf2d)()()(211tfftft向右移)(2tf时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t。11t41242tt()d211tt2124tt卷积图解过程信号与系统1t23tt()tf2即1t2()tttfd21)(11O()1f111113tt卷积图解过程信号与系统2t43tt()tf2即2t4224d)(21)(213ttttftO()1f1111313tt卷积图解过程信号与系统3tt()tf2O()1f111即：31tt4两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为00)()(21tff0)()()(21tftftf信号与系统卷积结果Ot()tf1111Ot()tf2323)(tftO242112211142412()224420tttttftttt其它卷积图解过程信号与系统一般规律：卷积结果所占的时宽＝两卷积函数所占的时宽之和卷积结果区间的确定卷积结果非零区间的确定()tf1()tf2[A,B][C,D][A+C,B+D]()12()*()rtftft-1()tf2()zsrt1()tf1034+1信号与系统11()()(1)()()(2)22etututhttutut()zsrt例：求：()ettt1201021()ht1卷积图解过程信号与系统解：图解法()e12()h010211i)t021()hii)()()hh02t1()httiii)()()hht卷积图解过程信号与系统()e121iv)相乘；v)求积分当时1/2t()0zsrt当时1/21t()21211()24416tzsttrttd()ht2tt()ht2tt()ht2tt()ht2tt()ht2tt当时13/2t()112133()2416zstrttd当时3/23t()21213()2424zstttrttd当时3t()0zsrt卷积图解过程信号与系统221021114416233314162333424203tttttttttt()zsrt卷积图解过程信号与系统由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化，不是一定从-∞到+∞。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。上述的例子通过图解确定卷积积分的积分限。也可借助于阶跃函数u(t)确定积分限。信号与系统1．列写KVL方程()()()tetRittiLdd2．冲激响应为)(e)(tuthtd)(e)2()(e)(21tuuutd)()2(ed)()(ee22tuuetuutt3.()()()diteht的零状态响应。，求已知)()2()(e)(2titututet)(tiH1L1R()et信号与系统4.定积分限（关键）():01u特点宗量时存在非零值，20022ttt())2(deedee)(2202tututitttt)2(ee2)(ee2)1(22tututttt00t)()(tuu()d)()2(eed)()(ee22tuutuutitt)()2(tuu00tt信号与系统波形2(1)2(ee),02()2ee,20tttttitt分段表示：其它Ot()th1Ot()ti2Ot()te12)2()(e2tutut)(etut信号与系统常见函数的卷积常见函数的卷积：()()()()()()()()()()1()()(),atatatatbtatbttxtxtututtuteuteutteuteuteuteeutabba利用常见函数的卷积公式与卷积的性质相结合，可以方便地求较复杂信号的卷积运算