信号与系统-第五章概要

第五章：离散时间信号与系统的时域分析5.1离散时间信号及基本运算5.2离散时间系统5.3离散时间系统的响应5.4离散时间系统的零输入响应与零状态响应)(kf)(ky激励是离散时间信号响应是离散时间信号离散系统连续傅立叶变换拉氏变换卷积积分微分方程连续时间系统离散傅立叶变换变换卷积和差分方程离散时间系统Z5.1离散时间信号及基本运算一、离散时间信号1122334k)(2kf1234k)(1kf离散信号离散时间信号，简称离散信号，信号仅在一些离散的时刻才有定义，因此它是离散时间变量tk的函数，用f(tk)来表示离散时间信号。tk表示离散时刻。通常离散时刻之间的间隔T是均匀的，即T=tk–tk-1为常量，故可用f(kT)来表示离散时间信号，简写为f(k)，k的取值为整数。的数值的数值是序号下面画有其函数值是一个序列为整数，例如，离散信号都表示为区分。项两者在符号上不加以与序列的第序列的序列来表示，数学上离散信号用数值0,21,0,21,)(2)()()(kkfkkkkfkfkkf、常用离散信号1)()1(k定义：单位冲激序列0001kk)()()()(2)()()(1)(ikifikkfifikkfkk）加权性：（）筛选性：的性质：（)(kk1012)3(kk13012)()()()(ikifkfkfi可表示为：这样任意离散信号单位阶跃序列)2(0001kk)(k01231k)2(k01231k450)()1()()()1()()(iikkkkkkk显然：)(k)()()3(kakfk单边指数序列k)(kf0123)sin()()4(kAkf正弦序列变化量。表示相邻样值间弧度的，的单位是，而角频率的单位是角频率有：正弦信号的抽样得到，正弦序列可以从对连续radsradTkkTtkfkTt/sinsinsin)(012345678k)(kf正弦序列的角频率也是周期信号呢？列是否经抽样后得到的正弦序一个周期的正弦信号，的周期性。有关正弦序列)sin()(kAkf整数。为序列的周期，只能为周期序列的定义：NkfNkf)()(?]sin[]sin[])(sin[＋在什么情况下等于kANkANkA必须为整数，对于周期序列即NNN/22。期序列，周期为为整数时，该序列为周当正弦序列的N/2■。周期为该序列也为周期序列，，数时，即不是整数时，但是有理当正弦序列的222mmN■非周期序列。为无理数时，该序列为当正弦序列的/2■确定其周期。期性，如为周期信号，判断上述正弦序列的周)2sin()(),3sin()(),54sin()(321kkfkkfkkfN=5N=6(5)复指数序列kjkekfkjsincos)(同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则应为整数或有理数，否则不是周期序列。2二.序列的基本运算与波形变换(1)相加12()()()fkfkfkk01()fk123-3-2-11k02()fk123-3-2-1123k012()()fkfk123-3-2-1123（a）（b）（c）序列的相加(2)相乘12()()()fkfkfkk01()fk1231-1k02()fk123123-1k012()()fkfk123123-1（a）（b）（c）(3)差分对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两个序列值的变化率。定义为前向差分：()(1)()fkfkfk后向差分：(4)累加对离散时间信号而言，信号的累加定义为()()knykfn即累加后产生的序列在k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。)1()()(kfkfkfk)(kf321012k)(kf321012k)(kf321012序列反转)5(序列平移)6(k)1(kf321012右移)2(kf32101234左移k(7)序列的尺度变换序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。ykfak（1a），是fkaka序列每隔-1点取一点形成的，即时间轴压缩了倍。k0()fk1321k0(2)fk1321..ykfak01afk11ak1a（），是序列每两相邻序列值之间加个零值点形成的，即时间轴扩展了倍。k0()fk1321-1k0()2kf1654321-15.2离散时间系统主要讨论线性时不变系统。线性系统：时不变系统)()(11kkfy)()()()(22112211kkkfkfycyccc)()(22kykf如果则)()(kykf)()(ikyikf如果则一.离散时间系统分类二.离散时间系统的数学描述—差分方程一个离散系统可以用差分方程来描述。差分方程的应用主要表现在两个方面：一方面它可以描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等；另一方面它可以用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来近似连续系统。在计算机得到广泛普及的今天，越来越多的系统都可以利用离散系统进行仿真，从而使系统的分析更为方便。例1：一个实际的商业银行住房贷款问题：（1）设P为用户的总借款额，m为贷款期限，I为银行每月的贷款利息，若用户每月的还款数相同，设为D，试证明，用户每月应还贷款的公式为：（2）若用户总借款额为40万元，贷款期限为20年，银行每月利息为7.2％，试问用户每月应还款多少？PIIIDmm1)1()1(例2：微分方程的离散化（微分方程的数值计算问题）。试求其对应的差分方程方程为：设某一连续系统的微分)()()('tftyty当T足够小时，TkTyTkyty)(])1[()(')()()()]1[(kfkyTkyky)()()(])1[(kTfkTyTkTyTky)()()1()1(kTfkyTky)()()()(kykTykfkTf简写简写解：为离散化，令t＝kT，T为固定正数，k取整数：)()()('kTfkTytykTt)()()1()1(kTfkyTky－或：)1()1()1()2()0()0()1()1()1()1()1()0(TfyTyTfyTyTfyTy这一递归关系式称为常系数差分方程，因y(k)自k以递增方式给出，称为前向形式的差分方程，否则为后向形式的差分方程。阶数。之差称为差分方程式的的最高序号与最低序号未知序列)(ky)()(41)1(21)2(kfkykyky前向差分方程)()2(41)1(21)(kfkykyky后向差分方程)()()1()1(kTfkyTky－利用计算机来求解微分方程就是根据这一原理来实现的三.离散时间系统的模拟)(kf)1()(kfky（c）单位延时器)(1kf)()()(21kfkfky)(2kf（a）加法器)(kf)()(kafky（b）标量乘法器1.基本模拟元件Da2．一阶系统的描述与模拟描述一阶系统的后向差分方程为描述一阶系统的前向差分方程为)()()1(0kfkyaky)()()1(0kyakfky可表示为：D0a)(kf)1(ky)(ky)()1()(0kfkyaky()ykD0a)(kf)1()()(0kyakfky可表示为：3．n阶系统前向差分方程的描述与模拟对于描述一个n阶系统的前向差分方程可改写为可得其模拟框图，如下图所示。)()()1()(01kfkyankyankyn)()()1()(01kfkyankyankyn()ykD0aD1a1na(1)yk()ykn)(kf4、n阶系统后向差分方程的描述与模拟对于描述一个n阶系统的后向差分方程可改写为可得其模拟框图，如下图所示。)()()1()(01kfnkyakyakyn()ykD0aD1a1na)(kf)()()1()(01kfnkyakyakyn若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如()qk且mn时，需引入一个辅助函数，使其满足就有于是，其模拟图如下图所示。)()1()()()1()(0101kfbmkfbmkfbkyankyankymmn)()()1()(01kfkqankqankqn)()1()()(01kqbmkqbmkqbkymmD0aD1a1na0b1nb1b()yk()qk(1)qkn()qkn(1)qk一般n阶系统的模拟图一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由系统的差分方程作出模拟图，也可由模拟图求出描述系统的差分方程。)(kf程。，写出该系统的差分方、某离散系统如图所示例2)(kf)(ky)1(kyDD)2(ky)(a2141)(b)(kf)(ky)1(kyDD)2(ky2141)()()2(41)1(21)()2(41)1(21)()()(后向差分为二阶差分方程kfkykykykykykfkya分）二阶差分方程（前向差)()(41)1(21)2()(41)1(21)()2()(kfkykykykykykfkyb图输出延时两位。图较下，响应形式相同，但有所不同。在相同输入出端区别，仅输出信号的取、这两个系统没有本质讨论：)()(1ab差分方程比较方便。、一般因果系统用后向2程。惯用前向形式的差分方、在状态变量分析中习3似。方法与后向差分方程类、前向差分方程的求解45.3离散时间系统的响应一、常系数线性差分方程的求解)(....)1()()(.....)1()(0101mkfbkfbkfbnkyakyakymmn简写成nimjjkfbikyaji00)()(一般形式4、变换域法（Z变换法）逐次代入求解，概念清楚，比较简便，适用于计算机，缺点是不能得出通式解答。1、迭代法2、时域经典法3、全响应＝零输入响应＋零状态响应零输入响应解的形式与齐次解形式相同，是满足齐次差分方程及零输入初始状态的那部分解。零状态响应解的形式与全响应形式相同，求解利用卷积和法求解。求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种全响应＝齐次解＋特解自由响应强迫响应差分方程的完全解为齐次解和特解之和，即：完全解。：特解；：齐次解；式中)()()()()()(kykykykykykyphph)(.1kyh齐次解程齐次解就是齐次差分方时域经典法解线性差分方程的解。0)(.....)1()(01nkyakyakyn形式。决定了系统自由响应的固有频率或自由频率，根，也称为系统的，称为差分方程的特征个根对应的nnnnnaaa,,0210111方程是差分方程所对应特征的函数组合，解的形式为kCkckkkrrkrrckckckc012111)(kyjpejba2,1特征根单实根重实根齐次解)cos(]sincos[kApkDkCpkk或不同特征根所对应的齐次解形式r。求系统的齐次解程为：描述某系统的差分方例)()()2(2)1(3)(1kykfkykykyh待定，系数对应的齐次解为2121)2()1()(CCCCkykkh0232系统的特征方程解：2121＝－，＝－系统的特征根齐次解称为系统的自由响应（固有响应），齐次解的形式仅依赖于系统本身特性，与激励信号的形式无关。但齐次解