概率统计和随机过程课件§4.1 随机变量函数的分布

§4.1随机变量函数的分布问题：已知随机变量X的概率特性——分布函数或密度函数（分布律）Y=g(X)求随机因变量Y的概率特性方法：将与Y有关的事件转化成X的事件第四章随机变量的函数的分布1设随机变量X的分布律为,2,1,)(kpxXPkk由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y的概率分布为,2,1,)()(ipyYPikyxgki离散型随机变量函数的分布2例1已知X的概率分布为Xpk-101221418181求Y1=2X–1与Y2=X2的分布律解Y1pi-3-113214181813Y2pi101421418181Y2pi0142183814例2已知X的概率分布为,2,1,0,)2(kpqkXPk其中p+q=1,0p1,求Y=SinX的概率分布解)0(YP)22(0mmXP02mmpq21qp5)1(YP)22(0mmXP)2)14((0mmXP014mmpq41qpq)1(YP)232(0mmXP)2)34((0mmXP034mmpq431qpq6故Y的概率分布为Ypi-1014243111qpqqpqpq7已知随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数)求Y=g(X)的密度函数或分布函数方法：(1)对积分作变换（2）从分布函数出发（3）从密度函数出发连续性随机变量函数的分布8y作变换求解的密度函数和分布函数11(),()()YgXgFxPXx()设单调递增则反函数存在，1()()(())(())FyPYyPgxyPxgy1()()gyfudu1(())ugv令11(())(())yfgvdgv1()()hvgv（令）9(())(())(())()yyfhvdhvfhvhvdv('()0)hv因为(())|()|yfhvhvdv12(),,()()YgXgFxPXx()设单调递减则存在，1()()(())(())FyPYyPgxyPxgy1()1()(())gyfuduugv令10111(())(())()()(())(())yyfgvdgvhvgvfhvdhv（令）(())()('()0)yfhvhvdvhv因为(())|()|yfhvhvdv()(())|()|yyfhyhy的密度函数11()(,)()()ygxabxhyYgX在区间上严格单调，其反函数有连续导数，则是一个连续型随机变量，其概率为(())|()|(,)()0fhyhyycdy其它定理1例3已知X密度函数为babaXYxfX,,),(为常数，且a0,求fY(y)解)()(yYPyFY)(ybaXP)(1)(byaXPyFY)(1byaFX当a0时，)(11)(byafayfXY13当a0时，)(1)(byaXPyFY)(11byaFX)(11)(byafayfXY故)(1||1)(byafayfXY14例如，设X~N(,2),Y=aX+b,则)(1||1)(byafayfXY2222)(||21aabyeayY~N(a+b,a22)特别地，若X~N(,2),)1,0(~NXY则15例4X~E(2),Y=–3X+2,求)(yfY解)2(31|3|1)(yfyfXY其他,0032,231322yey其他,02,323)2(2yey16例5已知X~N(0,1),Y=X2,求fY(y)解法一从分布函数出发)()(yYPyFY[y)()(2yXPyFYy[yy当y0时，FY(y)=0当y0时，)(yXyP)()(yFyFXX][17)(yFY0,0y0),()(yyFyFXX故)(yfY0,0y0,)()(21yyfyfyXX)(yfY0,0y21/21,02yeyy18解法二从密度函数出发yyy1x11)(xx2x22)(xx0)(yyYyP))(())((222111xxXxPxXxxP2211))((])()[()(xxfxxfyyfXXY即当y0时)(yyYyP当y0时yyy2xy1921)()()(21xxXxxXYdxdyxfdxdyxfyf21)()(21xxXxxXdxdyxfdxdyxf()()()()XXxyxyXXxyxyfyfydydydxdxdxdxfyfydydy202)(2)(2221|2|121|2|1yyeyey221yey故0,210,0)(2yeyyyfyY21一般地yx1x2x3y=g(x)xnxxnXxxXxxXYdxdyxfdxdyxfdxdyxfyf)()()()(2121xn22特别地，若g(x)为单调函数，则1111()()()XYXxxxxfxdxfyfxdydydxy=g(x)xyx1其中x1=g1(y)=h(y)23()(,)()()ygxabxhyYgX在区间上严格单调，其反函数有连续导数，则是一个连续型随机变量，其概率为(())|()|(,)()0fhyhyycdy其它定理1121212(),(),(),(),()()ygxIIhyhyhyhyYgX在区间不相互重叠的区间上严格单调，其反函数为而且，均为连续函数，则是一个连续型随机变量，其概率为1122*[()]|()|[()]|()|()0fhyhyfhyhyyyI其它定理225例6设xxxfX,)1(1)(231XY求fY(y)x31xyyx=(1-y)3解3)1(3)1()(yxXYdxdyyfyf3)1(3)1(yxXdydxyfyyy,)1(1)1(36226例7设X的概率密度函数为其他,00,2)(2xxxfXXYsin求的概率密度函数解故当y0或y1时y•fY(y)=0x)0(sinxxy100.511.522.530.20.40.60.81y•由图可知,Y的取值范围为(0,1)27y•arcsiny-arcsiny1x)0(sinxxy00.511.522.530.20.40.60.81当0y1时222)arcsin(2arcsin211)(yyyyfY212y故其他,010,12)(2yyyfY28注意：连续型随机变量的函数的分布函数不一定是连续函数例如：X~U(0,2)其他,020,21)(xxfX1100,1,,0)(xxxxxg令Y=g(X)xy11,110,2,0,0)(yyyyyFYFY(y)不是连续函数29§4.2二维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的概率特性g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y)求：Z的概率特性方法：转化为(X,Y)的事件30当(X,Y)为离散型随机变量时，Z也为离散型，),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(,2,1k离散型二维随机变量的函数31例1设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为XYpij-112-104161418112181求XYXYYXYX,,,的概率分布32解根据(X,Y)的联合概率分布可得如下表格：P4141618181121X+YX-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/2033故得PX+Y-2-101241414161121PX-Y-10123414141818134PXY-2-1016141812411PY/X-1-1/201418124116135设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且X,Y相互独立，则X+Y~B(n1+n2,p)关于离散型随机变量的两个重要结论：设X~P(1),Y~P(2),且X,Y相互独立，则X+Y~P(1+2)36作业•习题四2，3，5，8，1441