概率统计和随机过程课件第十一章：随机过程引论

第十一章：随机过程引论研究对象：随机过程是研究随机现象随时间演变过程的概率规律的一门学科。应用于：它广泛应用于雷达与电子通信，动态可靠性，设备更新，地质勘探，天文与气象,核技术,随机振动，控制，生物学，管理科学等许多领域。随着尖端科学和高技术的发展，随机过程的应用日益广泛和深入。1第一节：随机过程的定义及分类一.随机过程的概念概率论复习：随机试验,样本空间.E}{eS二维随机变量，联合分布函数),(YX),(yxF维随机变量，联合分布函数n),,,(21nXXX),,,(21nxxxF随机变量,分布函数；)(eXX)(xF2以表示某电话交换台在时段内接到的呼叫次数,那么,对于固定的,是一个随机变量.对于一切,是一个随机变量族.它的个数比可列个还要多,就不属于前面概率论的研究范围,具有新的特点.称是一个随机过程.)(tN),0[tt)(tN),0[t)},0[),({ttN)},0[),({ttN为了研究随机现象,引入了上述这些概念工具.但这些还不够用,还有一些随机现象,上述工具无法描述.例如3定义1设随机试验的样本空间,E}{eS那么对于所有的得到一族的函数,eStT是非空集合,(,)T，如果对于每个},),,({SeTtteX称为随机过程,简称过程.T称为参数集.简记为.}),({TttX().Xt或对应有参数的函数(,),(-,),XettT,eS由定义得S中的每一)(),(0txteX0,e是仅依赖于对于(1)t的函数，称为随机过程的样本函数,的轨道.0e它是随机过程的一次物理实现或对应于(2)对任意给定的是一个随机变量,称为随机过程在时的状态变量,简称状态.对于所有,随机过程是，一族随机变量,于是得到另一种定义方式.1,tT),()(11teXtX1ttTt}),,()({TtteXtX5定义2给定参数集,如果对于每个，对应有随机变量则称随机变量族为随机过程.),(TTt()(,),XtXet}),({TttX函数值集合称为随机过程的状态空间.它是二元函数的值域,记为.},|),({TtSeteX),(teXS几个例子：6为了描述检验的全过程,引入二元函数0,,(,){1,2,3,...,,...},.tXettTntt第次查出正品第次查出次品则二元函数就是一个随机过程.),(teXie,2,1i正品或次品,例1在一条自动生产线上检验产品质量,每次检验一个,区分正品或次品.那么,整个检验的}{eS),,,,(21ieeee样本空间(){(),-}tXtXtt因为固定时，是随机变量，所以是一族随机变量。0()cos()xtat另一方面，对随机变量作一次试验得到一个试验值，就是一条样本曲线。0()cos(),-[02]Xtatt0具有随机初位相的简谐波其中a与ω是正常，而，上的均匀分布。例28100()cos();xtat如：时，2022()cos(),33xtat时，3033()cos(),22()xtatXt时，等.因此，从两个角度看，都是随机过程。9二：随机过程的分类通常有两种分类法.一种是按随机过程的参数集和状态空间来分类;另一种是按随机过程的概率结构来分类.参数集可能为离散集或连续集,状态空间可能为离散集或连续集.(1)离散参数,离散状态;T={1,2…},状态空间由0，1构成(2)离散参数,连续状态;T={1,2…},状态空间为(,)(4)参数连续,状态连续.(3)参数连续,状态离散;[0,),012......T状态空间由，，构成。[0,),状态空间为（-，+）T(),nnXXt}{},,,,),({21nnXtttttX离散参数随机过程就是随机变量序列,简称随机序列。记于是11按随机过程的概率结构来分,随机过程的种类很多.这里列举几个重要类型:•二阶矩过程.包括正态过程,平稳过程等;•马尔可夫过程,包括马尔可夫链,泊松(Poisson)过程,维纳(Wiener)过程,扩散过程等;•更新过程;•鞅.12第二节随机过程的概率分布13一维分布函数})({);(1111xtXPtxF二维分布函数。})(,)({),;,(22112121xtXxtXPttxxF设是一随机过程,对于参数集T中的任意n个元素:即过程的n个状态}),({TttXnttt,,,211122()(,),()(,),,()(,)nnXtXetXtXetXtXet(个随机变量)的联合分布n的n维分布函数,)(tX,3,2,1n称为随机过程14如果存在非负函数使得成立,则称为随机过程的n维概率密度,n=1,2...11(,,;,,),nnfxxtt),,;,,(11nnttxxFnnnxxxdxdxttxxfn111),,;,,(21f)(tX一般来说,分布函数族或概率密度族可以完全地确定了随机过程的统计特征.特殊地,如果对于任何正整数n,随机过程的任意n个状态都是相互独立的,则称此过程为独立过程.15例1在第一节例1中,设各次检验相互独立地进行,每次检验的次品率为,求随机过程在时的二维分布函数.10,pp)(tX2121tt和1212(1)(2)在和时，过程的状态和的分布律分别为ttXX解：X(1)01P1-ppX(2)02P1-pp1610,0(;1)((1))1-0111一维分布函数为xFxPXxpxx20,0(;2)((2))1-0212xFxPXxpxx1712212122112000(1-)01,0201021-2111,2，或，或xxpxxxxpxxxx121122(1)(2)(,;1,2)(;1)(;2)由与的相互独立性，二维分布函数XXFxxFxFx18(),(0,1)()随机过程其中A和B是随机变量，分别服从正态分布.求的一维和二维分布。XtABtNXt例222()[()]()()0[()]()()1tXtEXtEAtEBDXtDAtDBt当固定，是正态变量，2()~(0,1).所以这是随机过程的一维分布。XtNt解先求一维分布19再求二维分布。12((),())Tnxtxt由维正态分布的性质，12221122(())0,(())0(())1,(())1,EXtEXtDXttDXtt12121212cov((),())[()()][()()]1XtXtEXtXtEABtABttt121122,(),()ttxtABtxtABt当固定，服从二维正态分布。二维正态分布被它的数学期望，协方差矩阵完全决定。2021122122,1111ttttttT所以，二维分布是期望为(0,0)协方差阵为，，的二维正态分布。112(,)cos(,)cos()-cos,-210,(),().()332设随机过程只有两条样本曲线，其中常数且试求的XtatXtatattaPPXt例32112(,0),(,),4(,;0,).4一维分布函数以及二维分布函数FxFxFxx122((0))()31((0))()3PXaPPXaP而所以先求一维分布。12(0)(0)cos0,(0,)-cos0-XXaaXaa显然，的可能取值为，解220-1(,0)-31xaFxaxaxa()(,)cos(,)cos12同理，根据X可能取的值为42aXa4422aXa44223202122(,)4322212XaFXaXaXa可得：-241222((0),())()42321((0)-,()-)()423PXaxaPPXaxaP而((0),())2XX再求二维分布。随机矢量可能的取值为11222((0,),(,))(,)422((0,),(,))(-,-)42XXaaXXaa25IIIIIIIIII2(,)2aa2(-,-)2aa261212121212202122322(,)2-2212所以或且且和xaxaxaaxaFxxaxaxaxaxa27两个随机过程有限维联合分布及独立性121''1{(),}{(),},()(),...();()(),...,().设和是两个随机过程由的任意个状态：和的任意个状态：mnXttTYttTXtmXtXtYtnYtYt组成m+n维随机向量.其分布函数),,,,,;,,,,,(''1111nmnmXYttttyyxxF称为随机过程X(t)和Y(t)的m+n维联合分布函数.28如果对于任何正整数m和n,对于T1中的任意数组以及T2中的任意数组,关系式),,,,,;,,,,,(''1111nmnmXYttttyyxxF),,;,,(11mmXttxxF都成立,则称两个随机过程相互独立.),,;,,(''11nnYttyyF29例4设随机过程22()(),0ZtXYtt式中X与Y是相互独立的标准正态随机变量.试求此过程的一维概率密度.解2服从2，即指数分布E(1/2)22()wXY11()exp{}022f从而，1()exp{}022zfzztt30作业•习题十一1，2，3，431