概率统计基础知识

2020/2/151第一部分概率统计基础知识随机事件及其概率随机变量及其分布随机变量的数字特征数理统计的基本概念参数估计假设检验方差分析2020/2/1521.1随机事件及其概率随机事件及其运算概率的定义及其运算条件概率全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性2020/2/1531.1.1随机事件及其运算随机试验(简称“试验”)随机试验的特点1.可在相同条件下重复进行；2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表为E2020/2/154例1.1.1随机试验例：E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E3:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E4:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E5:在一批灯泡中任取一只，测其寿命。2020/2/1551.1.1随机事件及其运算样本空间实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为Ω样本点试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为ω基本事件由一个样本点组成的单点集2020/2/1561.1.1随机事件及其运算随机事件试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是A中的元素两个特殊事件:必然事件Ω、不可能事件Φ.2020/2/157例1.1.2对于试验E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数，以下随机事件:Ω1={0，1，2，3}-----必然事件ΩA＝“至少出一个正面”＝{1，2，3}；而对试验E5：在一批灯泡中任取一只，测其寿命。Ω2={x:0≤x≤∞(小时）}。B＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000x∞(小时）}1.1.1随机事件及其运算2020/2/1581.1.1随机事件及其运算事件之间的关系1.包含关系“A发生必导致B发生”记为ABA＝BAB且BA.2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作ABn个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作3.积事件:A与B同时发生，记作AB＝ABn个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…AniniA12020/2/1594.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生5.事件的互斥：AB＝表示事件A、B不能同时发生6.事件的互逆AB＝,且AB＝BABAAAB易见的对立事件，称为记作;1.1.1随机事件及其运算2020/2/15101.1.1随机事件及其运算事件的运算规律1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：.,,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广2020/2/1511例1.1.3甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：::::::::::::654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标””“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标””“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA1.1.1随机事件及其运算2020/2/15121.1.2概率的定义及其运算从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性。古典概型与概率若某实验E满足1.有限性：样本空间Ω＝{ω1,ω2,…,ωn};2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).则称E为古典概型也叫等可能概型。2020/2/1513设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(Ω)记样本空间Ω中样本点总数，则有)()()(NANAPP(A)具有如下性质：(1)0P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，则P(AB)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:1.1.2概率的定义及其运算2020/2/1514例1.1.4甲有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩T是女孩N(Ω)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}87)()()(NANAP1.1.2概率的定义及其运算2020/2/1515例1.1.5:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-----取到一红一白25)(CN1213)(CCAN53)(251213CCCAP1.1.2概率的定义及其运算2020/2/1516一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是nNknMNkMCCCp1.1.2概率的定义及其运算2020/2/1517例1.1.6:将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒33)(N!3)(AN92)(AP}{}{1)(全有球空两盒PPBP329233131.1.2概率的定义及其运算2020/2/1518一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：nnmmPp某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？1.1.2概率的定义及其运算2020/2/15191.1.2概率的定义及其运算概率的统计定义事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).即：fn(A)＝nA/n.频率的性质(1)0≤fn(A)≤1；(2)fn(Ω)＝1；fn(Φ)=0(3)可加性：若AB＝Φ，则fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).2020/2/1520实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.50051.1.2概率的定义及其运算2020/2/15211.1.2概率的定义及其运算概率的加法公式对任意两事件A、B，有P(AUB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形，以及：(1)互补性：P(Ā)＝1－P(A);(2)可分性：对任意两事件A、B，有P(B)＝P(BA)＋P(BĀ).2020/2/1522例1.1.7某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报1.1.2概率的定义及其运算2020/2/15231.1.2概率的定义及其运算几何概型设试验E的样本空间为某可度量的区域Ω，且Ω中任一区域出现的可能性大小与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关，则称E为几何概型的试验。且定义事件A的概率为：积、体积）的几何度量（长度、面积、体积）的几何度量（长度、面AAP)(2020/2/1524例1.1.8:蒲丰(Buffon)投针问题：平面上画着一些平行线，他们之间的距离都是a，向此平面随意投一长度为L的针，试求此针与任一平行线相交的概率。解:以x表示针的中点到最近一条平行线的距离，以θ表示针与平行线的夹角，如图所示：显然样本空间为：θxa]},0[],2,0[:),{(axx1.1.2概率的定义及其运算2020/2/1525以R表示边长为a/2与π的长方形，针与平行线相交当且仅当：设在R中满足该关系的区域为G，即图中阴影部分，则所求概率为：sin2Lxx=Lsinθ/2Ra/2GπaLadLRGP22sin20的面积的面积1.1.2概率的定义及其运算2020/2/15261.1.3条件概率思考：袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问：(1)第一个人取得红球的概率是多少？(2)第二个人取得红球的概率是多少？(3)若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？(4)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？2020/2/15271.1.3条件概率条件概率的定义已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)显然，若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则AABnnABP)|()()(APABPnnnnAAB2020/2/1528例1.1.9设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）求两次均取到红球的概率（2）求第二次取到红球的概率（3）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球415/210/1)()()|()3(APABPABP522312)()2(25PBP10112)()1(25PABP1.1.3条件概率2020/2/1529Ω=ABA——第一次取到红球,B——第二次取到红球1.1.3条件概率2020/2/15301.1.3条件概率乘法公式设P(A)0,则:P(AB)＝P(A)P(B|A)称为事件A、B的概率乘法公式推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1).2020/2/1531例1.1.10有1张电影票需要给3个人分，每个人都想要，决定用抓阄的方式解决，问抓阄的先后对此方法的公平性是否有影响。解：设Ai为第i次抓阄时取到电影票，i=1,2,3。则31)(1AP)(3121*32)|()()()(12121212AAAAPAPAAPAP)(3111*21*32)|()|()()()(2132131213213AAAAAAPAAPAPAAAPAP由此可见，抓阄的方式是公平的！可推广到n中抓m的情况。P=m/n2020/2/15321.1.4全概率公式与贝叶斯公式完备事件组事件组A1，A2，…，An(n可为∞)，称为样本空间Ω的一个完备事件组，若满足：.,...,2,1,),(,)2(;)1(1njijiAAAjiniiAnA2A1-----B----------Ω2020/2/15331.1.4全概率公式与贝叶斯公式全概率公式事件组A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个完备事件组，且P(Ai)0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B∈Ω有：AnA2A1-----B----------ΩniiiniiABPAPBAPBPBP11)|()()()()(＝2020/2/1534例1.1.11市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。B买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买